Ejercicio 25
Se comparan dos figuras planas armadas con triángulos exactamente iguales, con el fin de decidir cuál necesita más, menos o la misma cantidad de cartulina.
Análisis de la Figura 1
- La figura grande es un triángulo rectángulo isósceles.
- Al observar sus líneas internas (una recta horizontal a media altura y una recta vertical que nace del vértice inferior), se nota que el triángulo grande está dividido en 4 triángulos pequeños congruentes.
- Cada uno de esos triángulos pequeños tiene catetos iguales a la mitad de los catetos del triángulo grande. Llamemos a al cateto de cada triángulo pequeño: su área es \frac{a^{2}}{2}.
- Superficie total de la Figura 1:
A_{1} = 4 \times \frac{a^{2}}{2} = 2a^{2}
Análisis de la Figura 2
- El rectángulo está dividido en dos mitades iguales por una recta vertical.
- En cada mitad hay una diagonal, de modo que el rectángulo queda formado por 4 triángulos congruentes, también rectángulos isósceles de cateto a.
- Superficie total de la Figura 2:
A_{2} = 4 \times \frac{a^{2}}{2} = 2a^{2}
Comparación
- En ambas figuras se usan 4 triángulos idénticos, uno tras otro.
- Como cada triángulo consume la misma cantidad de material, el material total es el mismo:
A_{1} = 4\,u \quad \text{y} \quad A_{2} = 4\,u \quad \Longrightarrow \quad A_{1} = A_{2}
- Por lo tanto, la cantidad de cartulina es equivalente en los dos casos.
La afirmación completa queda así: para armar la figura 1, Esmeralda usará igual cantidad de cartulina que para armar la figura 2.
Idea clave: dos figuras formadas por el mismo número de piezas congruentes tienen la misma superficie, aunque tengan formas diferentes (triángulo grande frente a rectángulo).
Respuesta
igual.
