Beneficio según el modelo logístico y el modelo polinómico de grado 3

Contexto: el problema del criador de cerdos

En las páginas anteriores se construyeron dos modelos: el peso del cerdo W(t) y el consumo de alimento C(t). Al combinarlos se obtiene la función beneficio: ingreso por venta (peso \times precio) menos costo del alimento consumido.

• Precio de venta: 1.4 \ \text{USD/kg}.
• Costo del alimento: 0.3\,(0.01412t^{2} - 0.49846t + 5.04253).

B(t) = 1.4\,W(t) - 0.3\left(0.01412t^{2} - 0.49846t + 5.04253\right)

Modelo 1: polinómico de grado 3

W_{1}(t) = -0.00001t^{3} + 0.00572t^{2} + 0.05264t + 2.12318

B_{1}(t) = \left(-0.00001t^{3} + 0.00572t^{2} + 0.05264t + 2.12318\right)\cdot 1.4 - \left(0.01412t^{2} - 0.49846t + 5.04253\right)\cdot 0.3

1. Para localizar el máximo se plantea la condición B_{1}'(t) = 0.
2. GeoGebra resuelve numéricamente la ecuación y entrega t \approx 159.95 días.
3. Se evalúa la función en ese instante: B_{1}(159.95) \approx 71.06 USD, que coincide con el punto rojo de la figura 9: (159.95;\,71.06).

Respuesta: con el modelo polinómico conviene faenar el cerdo a los 160 días, con una utilidad de USD 71 y un peso de 112 kg.

Modelo 2: logístico

W_{2}(t) = \frac{156.2642}{1 + 30.43233\,e^{-0.02751t}}

B_{2}(t) = \frac{156.2642}{1 + 30.43233\,e^{-0.02751t}}\cdot 1.4 - \left(0.01412t^{2} - 0.49846t + 5.04253\right)\cdot 0.3

1. Se deriva cada término y se iguala a cero: \frac{1.4\cdot 156.2642\cdot 0.02751\,e^{-0.02751t}}{\left(1 + 30.43233\,e^{-0.02751t}\right)^{2}} - 0.3\left(0.02824t - 0.49846\right) = 0
2. La ecuación se resuelve numéricamente (no tiene solución algebraica exacta) y se obtiene t \approx 187.48 días.
3. Se evalúa: B_{2}(187.48) \approx 73.54 USD, punto azul de la figura 9: (187.48;\,73.54).

Respuesta: con el modelo logístico conviene faenar a los 187 días, con un beneficio cercano a USD 74 y un peso de 140 kg.

Comparación de los dos modelos

El punto (187.48;\,73.54) está por encima de (159.95;\,71.06): el modelo logístico ofrece unos USD 3 más de ganancia y un cerdo 28 kg más pesado.

Figura 10: diagrama de dispersión del beneficio

1. Los puntos de la dispersión crecen con rapidez hasta unos 100 días.
2. Entre los 120 y los 170 días la curva se aplana y alcanza un máximo cercano a los 45 USD.
3. Después de los 170 días el beneficio comienza a bajar lentamente.

Esa forma de "S" (crecimiento acelerado, meseta y descenso suave) es la que reproduce el modelo logístico y no la parábola-cúbica, por lo que el modelo logístico describe mejor el fenómeno biológico del crecimiento del cerdo.

Respuesta: el modelo logístico se ajusta mejor a los datos y maximiza la ganancia: faenar a los 187 días, con USD 74 de utilidad y 140 kg de peso.