Cálculo del beneficio en la crianza de cerdos mediante modelos matemáticos

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La página no presenta ejercicios numéricos: es una página teórica que construye el modelo matemático del beneficio en la crianza de cerdos. Por eso la resolvemos desarrollando el modelo completo con notación funcional y LaTeX.

Paso 1. Identificar las dos variables económicas

El beneficio (ganancia neta) de un productor depende de dos factores:

• Ingresos por venta: lo que se obtiene al vender el cerdo.
• Costos de alimentación: lo que se gastó en alimentarlo hasta ese momento.

Paso 2. Escribir el beneficio como una resta

\text{Beneficio} = \text{Ingresos por venta} - \text{Costos de alimentación}

Si llamamos B al beneficio: B = I - C.

Paso 3. Modelar los ingresos por venta

Los ingresos se obtienen multiplicando el peso del cerdo en el momento de la venta por el precio por kilogramo en el mercado:

I(t) = P(t) \cdot p_{v}

donde P(t) es el peso del cerdo (kg) en el tiempo t y p_{v} es el precio de venta por kg.

Paso 4. Modelar los costos de alimentación

Los costos se calculan multiplicando la cantidad total de alimento consumido hasta ese momento por el precio del alimento por kilogramo:

C(t) = A(t) \cdot p_{a}

donde A(t) es el consumo acumulado de balanceado (kg) hasta el tiempo t y p_{a} el precio del alimento por kg.

Paso 5. Obtener la fórmula general del beneficio

Sustituyendo los dos modelos anteriores:

B(t) = P(t) \cdot p_{v} - A(t) \cdot p_{a}

El beneficio queda así expresado en función del tiempo t.

Paso 6. Elegir el modelo de crecimiento del peso

Como el peso del cerdo cambia con el tiempo, se proponen dos modelos:

1. Modelo polinómico de grado 3: P(t) = at^{3} + bt^{2} + ct + d, con a, b, c, d constantes.
2. Modelo logístico: P(t) = \dfrac{K}{1 + e^{-r(t - t_{0})}}, con K el peso máximo (asíntota), r la tasa de crecimiento y t_{0} el punto de inflexión.

Al sustituir cualquiera de estos P(t) en B(t) se obtiene el beneficio en función del tiempo, y como el consumo A(t) también depende de t, los costos totales se calculan igualmente.

Respuesta: B(t) = P(t)\,p_{v} - A(t)\,p_{a}, con P(t) dado por un modelo polinómico de grado 3 o por un modelo logístico.