Ángulos opuestos por el vértice y ángulos suplementarios: solucionario

Se dan las medidas \angle AOB = 100^\circ, \angle COD = 70^\circ, \angle BOC = 80^\circ y la relación \angle EOA + \angle AOB = 180^\circ. Determinar las medidas restantes.

1. Por ser \angle EOA y \angle AOB ángulos adyacentes suplementarios: \angle EOA = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ
2. Por ser \angle AOB y \angle COD ángulos opuestos por el vértice: \angle AOB = \angle COD \Rightarrow 100^\circ = 70^\circ \; \text{(contradicción)}
3. Se concluye que los datos de la figura no son consistentes entre sí; con los valores dados, \angle AOB \ne \angle COD, por lo que no pueden ser opuestos por el vértice simultáneamente.

Dados \beta = 140^\circ, \gamma = 40^\circ, \delta = 140^\circ, verificar relaciones.

1. \beta + \gamma = 140^\circ + 40^\circ = 180^\circ, por lo que son suplementarios.
2. \gamma + \delta = 40^\circ + 140^\circ = 180^\circ, por lo que son suplementarios.
3. \beta = \delta = 140^\circ, por lo que son iguales (opuestos por el vértice).

Dados \alpha = 110^\circ, \beta = 110^\circ, \gamma = 30^\circ.

1. \alpha = \beta = 110^\circ, entonces son opuestos por el vértice.
2. \alpha + \gamma = 110^\circ + 30^\circ = 140^\circ \ne 180^\circ, no son suplementarios.
3. \beta + \gamma = 110^\circ + 30^\circ = 140^\circ \ne 180^\circ, no son suplementarios.