Calculemos áreas: áreas sombreadas con círculos y cuadrados

Calcula el valor del área sombreada de cada figura. (Se usa A = \pi \times r^{2} con \pi \approx 3.14.)

1. Radio: r = \frac{5 \, \text{cm}}{2} = 2.5 \, \text{cm}.
2. Área de todo el círculo: A = 3.14 \times 2.5 \times 2.5 = 3.14 \times 6.25 = 19.625 \, \text{cm}^{2}
3. La parte sombreada es la mitad: A_{\text{sombreada}} = \frac{19.625}{2} = 9.8125 \, \text{cm}^{2}

1. Radio: r = \frac{6 \, \text{cm}}{2} = 3 \, \text{cm}.
2. Área de todo el círculo: A = 3.14 \times 3 \times 3 = 3.14 \times 9 = 28.26 \, \text{cm}^{2}
3. De los 8 gajos hay 4 sombreados, es decir la mitad del círculo: A_{\text{sombreada}} = \frac{4}{8} \times 28.26 = \frac{28.26}{2} = 14.13 \, \text{cm}^{2}

1. Radio: r = \frac{4 \, \text{cm}}{2} = 2 \, \text{cm}.
2. Área de todo el círculo: A = 3.14 \times 2 \times 2 = 12.56 \, \text{cm}^{2}
3. La parte sombreada es un cuarto de círculo: A_{\text{sombreada}} = \frac{12.56}{4} = 3.14 \, \text{cm}^{2}

Calcula el área sombreada. (Sugerencia: para encontrar el área sombreada se necesita que calcules el área del cuadrado y del círculo).

1. Área del círculo: A_{\text{círculo}} = 3.14 \times 4 \times 4 = 50.24 \, \text{cm}^{2}
2. Área del cuadrado: A_{\text{cuadrado}} = 5 \times 5 = 25 \, \text{cm}^{2}
3. La parte sombreada es el círculo menos el cuadrado: A_{\text{sombreada}} = 50.24 - 25 = 25.24 \, \text{cm}^{2}

1. El círculo inscrito toca los cuatro lados del cuadrado, así que su diámetro es el lado del cuadrado: d = 5 \, \text{cm} y r = 2.5 \, \text{cm}. (La etiqueta "3 cm" de la figura no puede ser el radio: un círculo de radio 3 cm no cabe dentro de un cuadrado de 5 cm de lado, y daría un área negativa; el valor coherente con el dibujo es r = 2.5 cm.)
2. Área del cuadrado: A_{\text{cuadrado}} = 5 \times 5 = 25 \, \text{cm}^{2}
3. Área del círculo: A_{\text{círculo}} = 3.14 \times 2.5 \times 2.5 = 19.625 \, \text{cm}^{2}
4. La parte sombreada son las cuatro esquinas: A_{\text{sombreada}} = 25 - 19.625 = 5.375 \, \text{cm}^{2}

Actividad grupal (paso 3)

Comparen sus procedimientos y respuestas.

Respuesta orientativa: en los dos ejercicios se parte del área mayor y se le resta la menor (círculo − cuadrado en el primero, cuadrado − círculo en el segundo); si los resultados de compañeros distintos difieren un poco, la causa suele ser el valor usado para \pi (3.14 o 3.1416) o el redondeo del radio 2.5 cm.