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Estudiemos un procedimiento: plegar y cortar el círculo

📄 ejercicios matematica 🎓 primaria · 4° Primaria Colombia 🇨🇴 CO 🗣 Español

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Respuesta rápida

Se forman 8 pedazos de 45° cada uno; al alinearlos en zigzag y partir el sobrante a la mitad se obtiene un paralelogramo de base π·r y altura r, cuyo área es π·r².

📚 exercise matematica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 7 min lectura

Solución — Página 121

Matematica 4° · Cartilla

Actividad 1 (Trabaja en grupo)

Tracen una circunferencia sobre un papel, recórtenla y sigan las instrucciones.

Paso 1: Dóblenla por la mitad, una, dos, hasta tres veces

Primera vez: el círculo se dobla por la mitad y quedan $2$ capas (media circunferencia).
Segunda vez: la mitad se dobla otra vez y quedan $2 \times 2 = 4$ capas (un cuarto de círculo).
Tercera vez: se dobla por tercera vez y quedan $2 \times 2 \times 2 = 8$ capas (un octavo de círculo).

Paso 2: Digan cuántos pedazos se forman y corten por los dobleces que se marcaron sobre el papel

Al desdoblar el papel quedan marcados los dobleces, que son líneas rectas que pasan por el centro (diámetros).
Al cortar por todos los dobleces, cada capa se separa en un gajo o sector circular: $2 \times 2 \times 2 = 8 \text{ pedazos}$

Respuesta: se forman 8 pedazos (gajos iguales), cada uno con un ángulo de $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$ .

Paso 3: Dispongan uno enseguida del otro todos los pedazos menos uno. Recorten por la mitad el pedazo que sobra

Se colocan 7 gajos en fila, alternando la punta hacia arriba y hacia abajo, como los dientes de una sierra.
El gajo que sobra (el octavo) se corta por la mitad con una línea que va del centro a la mitad del arco; cada mitad se coloca en un extremo de la fila.
Así los extremos quedan verticales y la figura se parece mucho a un paralelogramo (casi un rectángulo).
Medidas de la figura obtenida:
- La altura es el radio del círculo: $h = r$ (la altura de cada gajo es el radio).
- La base es la mitad del contorno del círculo: los 8 arcos quedan repartidos, la mitad arriba y la mitad abajo, de modo que la base mide la mitad de la circunferencia: $b = \frac{2 \times \pi \times r}{2} = \pi \times r$
El área de esa figura es base por altura: $A \approx (\pi \times r) \times r = \pi \times r^{2}$

Respuesta orientativa: con este procedimiento se descubre que el área del círculo es aproximadamente la mitad de la circunferencia multiplicada por el radio, es decir $A = \pi \times r^{2}$ ; entre más pedazos se corten, más se parece la figura a un rectángulo y mejor es la aproximación.

Contenido de la página

Guía 20 B — Estudiemos un procedimiento

Trabaja en grupo

Tracen una circunferencia sobre un papel, recórtenla y sigan las instrucciones.

✅ Dóblenla por la mitad, una, dos, hasta tres veces.

(Dibujo: círculo completo → media circunferencia "1 vez" → cuarto de círculo "2 veces" → octavo de círculo "3 veces".)

✅ Digan cuántos pedazos se forman y corten por los dobleces que se marcaron sobre el papel.

(Dibujo: círculo dividido en gajos como una rueda, con un gajo separado y unas tijeras.)

✅ Dispongan uno enseguida del otro todos los pedazos menos uno. Recorten por la mitad el pedazo que sobra.

(Dibujo: los gajos alineados en zigzag formando una franja casi rectangular, y en un círculo destacado el gajo que se parte por la mitad con las tijeras.)

Fórmulas y ecuaciones

$A = \pi \times r^{2}$

2 $\times$ 2 $\times$ 2 = 8 $\text{ pedazos}$

$\frac{360^\circ}{8}$ = $45^\circ$

b = $\frac{2\pi r}{2}$ = $\pi$ r

A $\approx$ $(\pi$ $\times$ r) $\times$ r = $\pi$ $\times$ $r^{2}$

Glosario (3)

Sector circular (gajo): Región del círculo entre dos radios y un arco; es como una rebanada de pastel.
Doblez: Línea que queda marcada en el papel al doblarlo; aquí los dobleces pasan por el centro del círculo.
Paralelogramo: Cuadrilátero con lados opuestos paralelos; su área es base por altura.

Preguntas para practicar

Digan cuántos pedazos se forman y corten por los dobleces que se marcaron sobre el papel.

Se forman 8 pedazos o gajos iguales, porque cada uno de los tres dobleces duplica la cantidad de capas: $2 \times 2 \times 2 = 8$.

¿Qué figura se parece a la formada por los gajos alineados y qué representa su base y su altura?

Se forma un paralelogramo casi rectangular: su altura es el radio $r$ del círculo y su base es la mitad de la circunferencia, $\pi \times r$; por eso el área del círculo es $\pi \times r^{2}$.

Temas y conceptos clave

Área del círculoDescomposición del círculo en sectoresTransformación de figurasDoblar 3 veces por la mitad produce 8 gajos: $2 \times 2 \times 2 = 8$Los gajos alineados alternadamente forman un paralelogramo de base $\pi r$ y altura $r$Por eso el área del círculo es $A = \pi \times r^{2}$

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