Justifico o refuto la aseveración del ingeniero: «para disminuir el trabajo realizado es necesario hacer más grande la rampa», usando el teorema del trabajo y la variación de la energía cinética.

Paso 1. Planteo el teorema del trabajo–energía (Teorema de trabajo–energía cinética).

W_{neto} = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2}m v_f^{2} - \frac{1}{2}m v_i^{2}

El trabajo neto es el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo: la fuerza aplicada por el ingeniero (F), el peso (P = mg) y, si existe, la fuerza de rozamiento (f).

Paso 2. Analizo el caso ideal (rampa sin rozamiento).

Supongamos que el cuerpo sube la rampa desde el reposo hasta el reposo: v_i = v_f = 0, de modo que \Delta K = 0 y, por lo tanto, W_{neto} = 0.

Descomponiendo el trabajo de la fuerza aplicada:

W_F + W_P = 0 \quad \Rightarrow \quad W_F = -W_P = mg(h_f - h_i) = mgh

Donde h es la altura vertical alcanzada. La longitud de la rampa L no aparece en la expresión: si la rampa tiene inclinación \theta, entonces F = mg\sin\theta (equilibrio) y L = \dfrac{h}{\sin\theta}, y su producto es:

W_F = F \cdot L = (mg\sin\theta)\left(\frac{h}{\sin\theta}\right) = mgh

El factor \sin\theta se cancela: el trabajo depende solo de la altura, no de la longitud de la rampa.

Paso 3. Analizo el caso real (con rozamiento).

La fuerza de rozamiento vale f = \mu N = \mu mg\cos\theta y su trabajo, que siempre es negativo, es:

W_f = -f\cdot L = -\mu mg\cos\theta \cdot \frac{h}{\sin\theta} = -\mu mgh\cot\theta

El trabajo total que debe aportar la fuerza aplicada es:

W_F = mgh + \mu mgh\cot\theta

Como hacer la rampa «más grande» significa aumentar L y, para la misma altura, disminuir \theta (rampa más larga y menos inclinada), la función \cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} aumenta cuando \theta disminuye. Por lo tanto, con rozamiento, una rampa más larga exige más trabajo, no menos.

Paso 4. Conclusión de la justificación.

Alargar la rampa reduce la fuerza necesaria (F = mg\sin\theta es menor), pero aumenta la distancia de modo que el producto W = F\cdot L permanece igual (caso ideal) o crece (caso real, por el rozamiento). El teorema del trabajo y la energía cinética muestra que el trabajo realizado para elevar un cuerpo hasta una altura h depende exclusivamente de m, g y h, no del recorrido seguido.

Planteamiento: una grúa portuaria del puerto de Guayaquil mueve un contenedor marítimo de 25 toneladas hasta una altura de 30 metros, en un tiempo de 50 segundos.

Nota: los literales concretos de las actividades de este planteamiento aparecen en la página siguiente (pág. 165). A continuación se presenta el análisis preliminar de los datos que servirá de base para ellos.

Paso 1. Convierto las magnitudes al Sistema Internacional.

m = 25 \, \text{t} = 25 \times 1000 \, \text{kg} = 2{,}5 \times 10^{4} \, \text{kg}

h = 30 \, \text{m}, \qquad t = 50 \, \text{s}, \qquad g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}

Paso 2. Calculo el trabajo necesario para elevar el contenedor (ganancia de energía potencial).

W = mgh = (2{,}5 \times 10^{4} \, \text{kg})(9{,}8 \, \text{m/s}^{2})(30 \, \text{m})

W = 7{,}35 \times 10^{6} \, \text{J} \approx 7{,}35 \, \text{MJ}

Paso 3. Calculo la potencia requerida por la grúa.

P = \frac{W}{t} = \frac{7{,}35 \times 10^{6} \, \text{J}}{50 \, \text{s}} = 1{,}47 \times 10^{5} \, \text{W}

P = 147 \, \text{kW} \approx 150 \, \text{kW}