Enunciado: ¿Cómo es posible que exista un punto donde dos cuerpos coinciden sin tocarse?

1. Cada cuerpo posee frecuencias naturales de oscilación, determinadas por su masa y su rigidez (sus "edificios atómicos", como dice el poema).
2. Un cuerpo puede ponerse en vibración sin contacto directo si otro oscilante le transmite energía por medio de una onda (sonido, mecánica, electromagnética).
3. Cuando la frecuencia de la fuente coincide con una frecuencia natural del segundo cuerpo, se cumple la resonancia: el cuerpo entra en vibración de amplitud máxima, aunque nunca se toquen.
4. El "punto donde coinciden sin tocarse" es el instante (o el modo de vibración) en que ambas oscilaciones están en fase: las crestas y valles de una coinciden con las de la otra, es decir, comparten la misma frecuencia y fase.
5. Matemáticamente, la amplitud resonante en un oscilador forzado se hace máxima cuando la frecuencia de la fuerza externa iguala la frecuencia natural:

A = \frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^{2}-\omega^{2})^{2} + (2\beta\omega)^{2}}} \quad \text{y} \quad A_{\max} \text{ se logra cuando } \omega = \omega_0.

Enunciado: En el poema, "una turbina cruza el cielo y el vidrio de la ventana vibra de pronto como en un éxtasis". Explica este fenómeno usando el concepto de resonancia.

1. Las palas de la turbina rotan y emiten sonido con frecencias específicas, relacionadas con la velocidad de giro y el número de palas:

f = n \cdot \frac{N_{\text{palas}}}{60},

donde n es la frecuencia de rotación en revoluciones por segundo y N_{\text{palas}} el número de palas. 2. El vidrio de la ventana es un cuerpo sólido con frecuencias naturales propias (dependen de su tamaño, espesor y material). 3. Cuando una de las frecuencias emitidas por la turbina coincide con una frecuencia natural del vidrio, se cumple la condición de resonancia y la amplitud de la vibración del cristal crece rápidamente. 4. Si la amplitud supera el límite elástico del vidrio, el cristal se agrieta o se desploma, tal como menciona el poema: "ritmo que los hace coincidir y vibrar o desplomarse juntos".

Enunciado: Un cuerpo vibra con frecuencia natural f_0 = 2{,}5 \, \text{Hz} y otro con f_0' = 4{,}0 \, \text{Hz}. ¿Pueden "coincidir sin tocarse"? Justifica numéricamente.

1. Definimos el concepto: dos cuerpos "coinciden" cuando oscilan con la misma frecuencia y en fase.
2. Comparamos las frecuencias naturales:

f_0 = 2{,}5 \, \text{Hz} \neq f_0' = 4{,}0 \, \text{Hz}. 3. Las frecuencias son distintas, por lo que los modos fundamentales no coinciden. 4. Sin embargo, los armónicos (múltiplos enteros de la frecuencia natural) pueden coincidir:

n \cdot f_0 = m \cdot f_0' \quad \Rightarrow \quad n \cdot 2{,}5 = m \cdot 4{,}0. 5. La menor solución entera se obtiene con el mínimo común múltiplo de las frecuencias:

\text{m.c.m.}(2{,}5;\, 4{,}0) = 20 \, \text{Hz}. 6. Verificación: 20/2{,}5 = 8 (octavo armónico del primero) y 20/4{,}0 = 5 (quinto armónico del segundo).