**CASO 2 (Serway, 2008).** Solenoide de radio r_s = 2 cm y n = 1×10^3 vueltas/m, rodeado por una bobina de radio 10 cm con N = 15 vueltas. Corriente I(t) = 5 A sen(120t). Determinar la f.e.m. inducida en la bobina en función del tiempo.

(t) = -1,42×10^-2(120t) V ≈ -14,2 mV(120t)

Libro de Física 1 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Cálculo de flujo magnético en discos y anillos, y f.e.m. inducida en bobina externa

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Respuesta rápida

1.a: $\Phi_B = B \times 7{,}85 \times 10^{-3} \, \text{Wb}$ (área del disco de 5 cm). 1.b: $\Phi_B = \dfrac{\mu_0 n I}{2} \times 1{,}51 \times 10^{-4} \, \text{Wb}$ . CASO 2: $\varepsilon(t) = -1{,}42 \times 10^{-2} \cos(120\,t) \, \text{V} \approx -14{,}2 \, \text{mV} \cos(120\,t)$ .

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Solución — Página 197

Fisica 1° · 2024

Ejercicio 1

Contexto: es la continuación de un caso (CASO 1) presentado en la página anterior. Los datos del solenoide (densidad de vueltas $n$ , corriente $I$ y radio interno $r_s$ ) no aparecen en esta imagen; por eso se desarrollan las expresiones generales y se sustituyen los valores que sí están en el enunciado (radios de 5 cm, 0,4 cm y 0,8 cm).

Parte 1.a

Enunciado. Calcular el flujo a través de la superficie de un disco de radio $R = 5 \, \text{cm}$ colocado perpendicularmente y centrado en el eje del solenoide.

El flujo magnético es la integral de la inducción a través de la superficie: $\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$ . Como el campo del interior del solenoide es perpendicular al disco y prácticamente uniforme, la integral se reduce a $\Phi_B = B A$ .
Convertir el radio a unidades SI: $R = 5 \, \text{cm} = 5 \times 10^{-2} \, \text{m}$ .
Calcular el área del disco: $A = \pi R^{2} = \pi \left(5 \times 10^{-2}\right)^{2} = \pi \left(25 \times 10^{-4}\right) = 7{,}85 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2}$ .
Caso 1: si el disco está contenido dentro del solenoide ( $R \le r_s$ ), todo el disco ve el campo $B$ : $\Phi_B = B \pi R^{2} = B \left(7{,}85 \times 10^{-3}\right) \, \text{Wb}$ .
Caso 2: si el disco es mayor que el solenoide, el campo es prácticamente nulo fuera de él, por lo que solo aporta flujo la sección transversal del solenoide: $\Phi_B = B \pi r_s^{2}$ (la parte del disco fuera de la bobina no contribuye).

Respuesta

$\boxed{\Phi_B = B \times 7{,}85 \times 10^{-3} \, \text{Wb}}$ si el disco cabe dentro del solenoide; en general $\Phi_B = B \times \min\left(\pi R^{2}, \pi r_s^{2}\right)$ .

Parte 1.b

Enunciado. En la sección circular del extremo del solenoide, calcular el flujo a través del área color azul, definida por un anillo de radio interno $r_{i} = 0{,}4 \, \text{cm}$ y radio externo $r_{e} = 0{,}8 \, \text{cm}$ .

El anillo tiene un área propia $A_{anillo} = \pi \left(r_{e}^{2} - r_{i}^{2}\right)$ .
Convertir los radios a metros: $r_{i} = 0{,}4 \times 10^{-2} \, \text{m}$ y $r_{e} = 0{,}8 \times 10^{-2} \, \text{m}$ .
Calcular los cuadrados: $r_{e}^{2} = 6{,}4 \times 10^{-5} \, \text{m}^{2}$ y $r_{i}^{2} = 1{,}6 \times 10^{-5} \, \text{m}^{2}$ .
Restar: $r_{e}^{2} - r_{i}^{2} = \left(6{,}4 - 1{,}6\right) \times 10^{-5} = 4{,}8 \times 10^{-5} \, \text{m}^{2}$ .
Área del anillo: $A_{anillo} = \pi \left(4{,}8 \times 10^{-5}\right) = 1{,}51 \times 10^{-4} \, \text{m}^{2}$ .
El anillo está en la cara final del solenoide; ahí la inducción vale aproximadamente la mitad de la interior: $B_{fin} = \dfrac{\mu_0 n I}{2} = \dfrac{B_{int}}{2}$ (campo en el extremo de un solenoide largo).
Sustituir: $\Phi_B = B_{fin} A_{anillo} = \dfrac{\mu_0 n I}{2} \left(1{,}51 \times 10^{-4}\right) \, \text{Wb} = B_{int} \left(7{,}54 \times 10^{-5}\right) \, \text{Wb}$ .

Respuesta

$\boxed{\Phi_B = \dfrac{\mu_0 n I}{2} \times 1{,}51 \times 10^{-4} \, \text{Wb}}$ (equivalente a $B_{fin} = B_{int}/2$ sobre el anillo de $1{,}51 \times 10^{-4} \, \text{m}^{2}$ ).

Ejercicio 2

— CASO 2 (Serway, 2008)

Enunciado. Un solenoide de radio $r_s = 2 \, \text{cm}$ y $n = 1 \times 10^{3}$ vueltas/m está rodeado por una bobina de radio $R_b = 10 \, \text{cm}$ y $N = 15$ vueltas. La corriente es $I(t) = 5\,\text{A} \, \text{sen}(120\,t)$ . Determinar la f.e.m. inducida en la bobina de 15 vueltas en función del tiempo.

La inducción dentro del solenoide (campo prácticamente uniforme) es $B(t) = \mu_0 n I(t)$ , con $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m/A}$ .
Sustituir la corriente: $B(t) = \mu_0 n \left[5\,\text{A} \, \text{sen}(120\,t)\right] = \left(4\pi \times 10^{-7}\right)\left(1 \times 10^{3}\right)\left(5\right) \, \text{sen}(120\,t)$ .
Simplificar: $B(t) = 2\pi \times 10^{-3} \, \text{sen}(120\,t) \, \text{T} \approx 6{,}28 \times 10^{-3} \, \text{sen}(120\,t) \, \text{T}$ .
El campo es nulo fuera del solenoide, por lo que el flujo por vuelta de la bobina externa solo aporta la sección transversal del solenoide: $A_s = \pi r_s^{2} = \pi \left(2 \times 10^{-2}\right)^{2} = \pi \left(4 \times 10^{-4}\right) = 1{,}257 \times 10^{-3} \, \text{m}^{2}$ (el radio de la bobina, 10 cm, no se usa).
Flujo por vuelta: $\Phi_B(t) = B(t) A_s = \left(2\pi \times 10^{-3}\right)\left(1{,}257 \times 10^{-3}\right) \, \text{sen}(120\,t) = 7{,}90 \times 10^{-6} \, \text{sen}(120\,t) \, \text{Wb}$ .
Flujo enlazado por las $N = 15$ vueltas: $\Phi_{tot}(t) = N \Phi_B(t) = 15 \left(7{,}90 \times 10^{-6}\right) \, \text{sen}(120\,t) = 1{,}18 \times 10^{-4} \, \text{sen}(120\,t) \, \text{Wb}$ .
Ley de Faraday: $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi_{tot}}{dt} = -N A_s \mu_0 n \dfrac{dI}{dt}$ .
Derivar la corriente: $\dfrac{dI}{dt} = 5\left(120\right) \cos(120\,t) = 600 \, \cos(120\,t) \, \text{A/s}$ .
Sustituir todo: $\varepsilon(t) = -\left(1{,}18 \times 10^{-4}\right)\left(120\right) \cos(120\,t) = -1{,}42 \times 10^{-2} \cos(120\,t) \, \text{V}$ .

Verificación: unidades $\text{Wb/s} = \text{V}$ ✓; magnitud $15 \times 4\pi\times10^{-7} \times 10^{3} \times 5 \times 1{,}257\times10^{-3} \times 120 \approx 1{,}42\times10^{-2} \, \text{V}$ ✓. Como la bobina rodea todo el solenoide, su radio (10 cm) es irrelevante: solo interesa el área de la fuente de campo.

Respuesta

$\boxed{\varepsilon(t) = -1{,}42 \times 10^{-2} \cos(120\,t) \, \text{V} \approx -14{,}2 \, \text{mV} \cos(120\,t)}$ , con amplitud $|\varepsilon|_{máx} = N \mu_0 n I_m A_s \omega \approx 14{,}2 \, \text{mV}$ .

Contenido de la página

Problemas de solenoide: flujo magnético y f.e.m. inducida (continuación de CASO 1, página 196)

a) Calculo el flujo a través de la superficie de un disco de radio de 5 cm colocado perpendicularmente, y centrado en el eje del solenoide, como se muestra en la figura.

b) En la sección circular del extremo del solenoide, calculo el flujo a través del área color azul, definida por un anillo de radio interno de 0,4 cm y de radio externo de 0,8 cm.

CASO 2:

Un solenoide con radio de 2 cm y de $1 \times 10^{3}$ vueltas/metro está rodeado por una bobina con un radio de 10 cm y de 15 vueltas. La corriente en el solenoide cambia acorde con la ecuación $I = 5\,\text{A} \, \text{sen}(120t)$ . Fuente: (Serway, 2008).

Determino la f.e.m. inducida en la bobina de 15 vueltas en función del tiempo.

Nota: las tres rejillas en blanco son espacios de dibujo y de cálculo para el estudiante.

Tabla

Magnitud del CASO 2	Valor	Unidad
Radio del solenoide, $r_s$	2	cm
Densidad de vueltas, $n$	$1\times10^{3}$	vueltas/m
Radio de la bobina externa	10	cm
Vueltas de la bobina, $N$	15	vueltas
Amplitud de la corriente, $I_m$	5	A
Frecuencia angular, $\omega$	120	rad/s
Campo interior máximo, $\mu_0 n I_m$	$6{,}28\times10^{-3}$	T
Área transversal del solenoide, $A_s$	$1{,}26\times10^{-3}$	m $^2$
Flujo por vuelta máximo	$7{,}90\times10^{-6}$	Wb
Flujo enlazado máximo, $N\Phi_B$	$1{,}18\times10^{-4}$	Wb
F.e.m. inducida	$-1{,}42\times10^{-2}\cos(120t)$	V

Diagrama

flowchart TD
  A[Corriente I(t) = 5 sen(120t) en el solenoide] --> B[Campo interno B = mu0 n I]
  B --> C[Flujo por vuelta Phi_B = B x A_s]
  C --> D[Flujo enlazado Phi_tot = N Phi_B]
  D --> E[Ley de Faraday: epsilon = -dPhi_tot/dt]
  E --> F[f.e.m. inducida = -14,2 mV cos(120t)]

Fórmulas y ecuaciones

B = $mu_0$ n I con $mu_0$ = 4 pi x $10^{-7}$ T m/A

$Phi_B$ = B A (campo perpendicular uniforme)

epsilon = -N $dPhi_B/dt$

Magnitud maxima: |epsilon|_max = N $mu_0$ n $I_m$ $A_s$ omega

$\Phi_B$ = $\int$ $\vec{B}$ $\cdot$ d $\vec{A}$ = B A $\cos\theta$

$B_{solenoide}$ = $\mu_0$ n I

$A_{anillo}$ = $\pi$ $\left(r_{e}^{2}$ - $r_{i}^{2}\right)$

$B_{fin}$ = $\dfrac{\mu_0 n I}{2}$

$\Phi_{tot}$ = N B A

$\varepsilon$ = - $\dfrac{d\Phi_{tot}}{dt}$ = -N A $\mu_0$ n $\dfrac{dI}{dt}$

I(t) = $5\$ , $\text{A}$ $\$ , $\text{sen}$ (120t), $\qquad$ $\dfrac{dI}{dt}$ = 600 $\cos(120t)$

Glosario (6)

Flujo magnético: Número de líneas de campo que atraviesan una superficie; se mide en weber (Wb) y se calcula como el producto del campo por el área cuando son perpendiculares.
Solenide: Bobina con muchas vueltas en la que el campo magnético interior es prácticamente uniforme e igual a B = mu_0 n I.
Densidad de vueltas (n): Número de vueltas por unidad de longitud del solenoide, expresado en vueltas por metro (1/m).
F.e.m. inducida: Fuerza electromotriz que aparece en una bobina al variar el flujo magnético que la atraviesa, dada por la ley de Faraday.
Anillo: Superficie circular de radio externo r_e y radio interno r_i, cuya área es A = pi (r_e^2 - r_i^2).
Flujo enlazado: Flujo magnético multiplicado por el número de vueltas de la bobina (Phi_tot = N Phi_B).

Preguntas para practicar

¿Por qué el radio de la bobina externa (10 cm) no aparece en el resultado de la f.e.m. inducida?

Porque el campo magnético de un solenoide es prácticamente nulo fuera de su superficie lateral; solo dentro del solenoide (radio 2 cm) existe flujo, por lo que el área que determina el flujo por vuelta es la sección transversal del solenoide, no la de la bobina que lo rodea. En una bobina muy larga el campo exterior no se anula por completo, pero en la aproximación ideal usada en el texto se desprecia.

¿Por qué la f.e.m. inducida cambia de signo periódicamente?

La corriente varía sinusoidalmente, así que su derivada —que determina la f.e.m. por la ley de Faraday— es proporcional a cos(120t), que cambia de signo. Cuando la corriente crece se induce una f.e.m. que se opone al cambio (ley de Lenz); cuando decrece, el signo se invierte. La frecuencia de la f.e.m. es igual a la de la corriente, 120 rad/s.

Temas y conceptos clave

Flujo magnético en solenoidesF.e.m. inducida (ley de Faraday)Campo magnético en el extremo de un solenoideflujo magnéticoinducción magnética Bdensidad de vueltas nf.e.m. inducidasen(120t)área de un anillo

Fuentes y referencias

Serway, Physics for Scientists and Engineers, 2008 (citado en el CASO 2)

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Figuras de la página (1)

Rejilla cuadriculada en blanco, espacio de dibujo para representar el disco de radio 5 cm centrado en el eje del solenoide (ejercicio 1.a). — Figura 1 image

Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula el flujo magnético a través de una superficie dentro de un solenoide?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Por qué el radio de la bobina que rodea al solenoide no influye en la f.e.m. inducida?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué valor tiene el campo magnético en el extremo de un solenoide largo?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Campo magnético interior de un solenoide: B = mu_0 n I
• Concepto de flujo magnético: Phi_B = B A cos(theta)
• Derivada de funciones trigonométricas (sen y coseno)
• Conversión de centímetros a metros

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Autoinducción, inductancia de una bobina y circuitos RL con fuente de corriente variable

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 677 caracteres

a) Calculo el flujo através de la superficie de un disco de radio de 5cmcolocadoperpendicularmente, y centrado en el eje del solenoide, como se muestra en la figura.

b) En la sección circular del extremo del solenoide, calculo el flujo a través del área color azul, definida por un anillo de radio interno de 0,4 cm y de radio externo de 0,8 cm.

CASO 2:

Un solenoide con radio de 2 cm y de 1x103 vueltas/metro está rodeado por una bobina con un radio de 10 cm y de 15 vueltas. La corriente en el solenoide cambia acorde con la ecuación I=5A sen(120t). Fuente: (Serway, 2008).

Determino la f.e.m inducida en la bobina de 15 vueltas en función del tiempo.

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