Cuerda de guitarra en un campo magnético: frecuencia y f.e.m. inducida

Una cuerda tensada vibra en su modo fundamental con nodos en los extremos, por lo que la longitud de onda es igual a dos veces la longitud de la cuerda.

1. Datos: densidad lineal \mu = 3 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}, longitud L = 64 \, \text{cm} = 0{,}64 \, \text{m}, tensión T = 267 \, \text{N}.
2. Velocidad de propagación de la onda en la cuerda: v = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{267}{3 \times 10^{-3}}} = \sqrt{8{,}9 \times 10^{4}} \approx 298{,}33 \, \text{m/s}
3. Longitud de onda de la fundamental: \lambda_1 = 2L = 2(0{,}64) = 1{,}28 \, \text{m}
4. Frecuencia fundamental: f_1 = \frac{v}{\lambda_1} = \frac{298{,}33}{1{,}28} \approx 233{,}07 \, \text{Hz} \approx 233 \, \text{Hz}

1. El tramo de la cuerda dentro del campo realiza un movimiento armónico: y(t) = A \sin(\omega t), \qquad A = 1{,}5 \, \text{cm} = 0{,}015 \, \text{m}
2. Frecuencia angular: \omega = 2\pi f_1 = 2\pi (233{,}07) \approx 1464{,}3 \, \text{rad/s}.
3. Velocidad instantánea del tramo: v_y(t) = \omega A \cos(\omega t), cuya amplitud es V = \omega A = 2\pi (233{,}07)(0{,}015) \approx 21{,}97 \, \text{m/s}
4. La f.e.m. motriz inducida (el conductor móvil corta las líneas de \vec{B}) es \varepsilon = B \ell v_y, por lo que la amplitud vale \varepsilon_0 = B \,\ell\, V = (4{,}50 \times 10^{-3})(0{,}02)(21{,}97) \approx 1{,}98 \times 10^{-3} \, \text{V}
5. Valor eficaz (si el voltímetro indica RMS): \varepsilon_{\text{ef}} = \varepsilon_0/\sqrt{2} \approx 1{,}40 \, \text{mV}.

La guitarra clásica tiene seis cuerdas afinadas en la escala estándar (E A D G B E). Sus frecuencias fundamentales abarcan el rango de aproximadamente 82 a 330 \, \text{Hz}; las armónicas superiores llegan hasta \approx 1300 \, \text{Hz}.

Respuesta orientativa: Para afinar cada cuerda se debe variar, sobre todo, la tensión T (con el clavijero), porque f_1 = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}: al cambiar T cambia v y, con ella, f_1. También deben conocerse \mu (cada cuerda tiene masa lineal distinta: nylon, nylon recubierto de cobre o acero) y L (escala del mástil, trastes). En el detector se debe ajustar además B y la posición del imán sobre la cuerda, para garantizar que el voltímetro/osciloscopio registre una señal claramente distinguible de cada frecuencia.

Respuesta orientativa: Es más fácil construirlo por inducción electromagnética: basta un imán permanente pequeño y un voltímetro (o un amplificador sencillo), sin fuente de alimentación ni bobinas con corriente; el dispositivo es pasivo, económico y sin riesgos eléctricos, y es el principio de los pastillas (pickups) de las guitarras eléctricas. Generar el campo magnético mediante corriente exigiría una fuente de voltaje, una bobina/electroimán, regulación de la corriente y manejo de interferencias y calor, además de que la cuerda debe ser ferromagnética. La desventaja de la inducción es que requiere cuerdas metálicas (el nylon no interactúa con el imán).