Ruedas de distinto radio: velocidad y aceleración angular, centrípeta, periodos y distancias

Analizar las proposiciones sobre dos ruedas A y B de radios r_A > r_B (la figura con los radios está en la página anterior; se toma r_A>r_B, que es lo que exigen las proposiciones 3 y 4 de esta tabla) suponiendo que ambas ruedas tienen la misma rapidez lineal v.

1. Rapidez angular: \omega = \dfrac{v}{r}. Como v es igual y r_A > r_B, entonces \omega_A = \dfrac{v}{r_A} < \dfrac{v}{r_B} = \omega_B.
2. Aceleración centrípeta en la parte externa: a_c = \dfrac{v^2}{r}. Con la misma v y r_A > r_B se obtiene a_{cA} = \dfrac{v^2}{r_A} < \dfrac{v^2}{r_B} = a_{cB}.
3. Desplazamiento angular en una vuelta: \Delta\theta = 2\pi \, \text{rad} para cualquier rueda, sin importar el radio.
4. Arco (distancia lineal) en una vuelta: s = 2\pi r, por lo que s_A = 2\pi r_A > 2\pi r_B = s_B.
5. Periodo: T = \dfrac{2\pi r}{v}, de modo que T_A = \dfrac{2\pi r_A}{v} > \dfrac{2\pi r_B}{v} = T_B.
6. Distancia recorrida en el mismo intervalo: d = v\,t; al ser v idéntica, ambas recorren la misma distancia.

Clasificación:

• Falsas: «El módulo de la velocidad angular es el mismo para ambas ruedas» (contradice el paso 1); «El módulo de la aceleración centrípeta en la parte más externa es igual» (contradice el paso 2); «Para una revolución el desplazamiento lineal o arco es el mismo» (contradice el paso 4); «El tiempo que demoran ambas ruedas en dar una revolución completa es el mismo» (contradice el paso 5); «La distancia que recorre la rueda B es mayor que la de la rueda A» (contradice el paso 6).
• Verdaderas: «\omega_A es menor que \omega_B»; «la aceleración centrípeta de A es mayor que la de B»*; «para una revolución el desplazamiento angular de ambas ruedas es el mismo».

*Esta última es verdadera solo si r_A < r_B; con la convención r_A > r_B usada aquí es falsa y se cumple en cambio que a_{cB} > a_{cA}. En cualquier caso, las proposiciones 1, 6, 7 y 8 son falsas sin importar cuál radio sea mayor.

Si ambas ruedas parten del reposo con la misma aceleración tangencial a_t, hasta alcanzar la misma rapidez lineal v y luego mantienen rapidez constante, seleccione las proposiciones incorrectas.

1. Aceleración angular: \alpha = \dfrac{a_t}{r}. Como a_t es igual y r_A \ne r_B: \alpha_A = \dfrac{a_t}{r_A} < \dfrac{a_t}{r_B} = \alpha_B. Luego «la aceleración angular de ambas ruedas es la misma» es INCORRECTA, y «\alpha_B > \alpha_A» es correcta.
2. Velocidad en un instante: v(t) = a_t\,t, igual para ambas; por tanto a_c(t) = \dfrac{v(t)^2}{r} es distinta para radios distintos: «la aceleración centrípeta de ambas ruedas es la misma» es INCORRECTA, y «a_{cA} > a_{cB}» es correcta (con r_A>r_B).
3. Tiempo para alcanzar la rapidez constante: t = \dfrac{v}{a_t}; al coincidir v y a_t, el tiempo es el mismo: proposición CORRECTA.
4. Periodo en régimen permanente: T = \dfrac{2\pi r}{v}; con r_A \ne r_B los periodos difieren: «el tiempo en dar una revolución completa es el mismo» es INCORRECTA.
5. Velocidad final: el enunciado impone la misma v final: proposición CORRECTA.
6. Distancia lineal recorrida durante la aceleración: de v^2 = 2a_t s se obtiene s = \dfrac{v^2}{2a_t}, igual para ambas; también en el tramo a rapidez constante d = v t es igual: proposición CORRECTA.