Compresión máxima de un resorte en la rampa de una montaña rusa

Se realiza una prueba de seguridad de una montaña rusa: el coche parte del reposo en la cima (altura h = 8 \, \text{m}), baja una rampa rugosa que forma \theta = 50^\circ con la horizontal, recorre una pista plana lisa de 4 \, \text{m} y golpea un resorte de constante k. Datos: m = 50 \, \text{kg}, \mu = 0{,}2, g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}. Calcular la máxima compresión x del resorte.

1. Energía inicial en la cima (solo potencial, ya que v_0 = 0): E_i = mgh = 50 \times 9{,}8 \times 8 = 3920 \, \text{J}

2. Geometría de la rampa: la longitud de la rampa es L = \frac{h}{\sin 50^\circ} = \frac{8}{0{,}7660} \approx 10{,}44 \, \text{m} y su proyección horizontal: L\cos 50^\circ = 10{,}44 \times 0{,}6428 \approx 6{,}71 \, \text{m} (equivale a h\cot 50^\circ).

3. Fuerza de rozamiento en la rampa: el normal es N = mg\cos\theta: N = 50 \times 9{,}8 \times \cos 50^\circ = 490 \times 0{,}6428 \approx 315{,}0 \, \text{N} f = \mu N = 0{,}2 \times 315{,}0 \approx 63{,}0 \, \text{N}

4. Trabajo del rozamiento en la rampa (fuerza y desplazamiento en la misma dirección): W_{f,\text{rampa}} = f\,L = 63{,}0 \times 10{,}44 \approx 658 \, \text{J} (equivalentemente W_f = \mu m g h \cot\theta = 0{,}2 \times 50 \times 9{,}8 \times 6{,}71 \approx 658 \, \text{J}).

5. Energía al pie de la rampa por el teorema trabajo-energía: E_1 = E_i - W_{f,\text{rampa}} = 3920 - 658 = 3262 \, \text{J}

6. Tramo plano liso de 4 \, \text{m}: al ser liso (\mu = 0) y horizontal, el rozamiento no consume energía y la gravedad no realiza trabajo: E_2 = E_1 = 3262 \, \text{J}

7. Compresión máxima del resorte: en el instante máximo de compresión el coche se detiene (v = 0), así que toda la energía se convierte en energía elástica: \frac{1}{2}kx^{2} = 3262 \, \text{J} \quad \Longrightarrow \quad x = \sqrt{\frac{2 \times 3262}{k}} = \sqrt{\frac{6524}{k}} Como k no se entrega en el enunciado, la compresión se obtiene en función del resorte comercial que se adquiera:

   • Si k = 1000 \, \text{N/m}: x = \sqrt{6{,}524} \approx 2{,}55 \, \text{m}.
   • Si se desea una compresión segura de x = 0{,}50 \, \text{m}: k = \dfrac{6524}{(0{,}5)^{2}} = 26\,096 \, \text{N/m} \approx 2{,}6 \times 10^{4} \, \text{N/m}.

Respuesta: x = \sqrt{\dfrac{6524}{k}} con 3262 J disponibles (2,55 m si k = 1000 \, \text{N/m}).