Choque de esferas de billar: conservación del momento lineal

Una bola blanca (masa m_1 = 180 \ \text{g} = 0{,}18 \ \text{kg}) golpea a una bola amarilla en reposo (masa m_2 = 150 \ \text{g} = 0{,}15 \ \text{kg}). El choque ocurre a 0{,}25 \ \text{s} del golpe y la bola amarilla recorre 1 \ \text{m} hasta el orificio en 0{,}35 \ \text{s}. La figura da los ángulos: 28^\circ para la bola blanca (por encima del eje x) y 31^\circ para la amarilla (por debajo del eje x). Se pide la velocidad de la bola blanca posterior al choque.

Datos y cambio de unidades

• m_1 = 0{,}18 \ \text{kg} (blanca), m_2 = 0{,}15 \ \text{kg} (amarilla).
• v_{2i} = 0 (la amarilla estaba en reposo).
• Distancia previa al choque de la blanca: d_1 = 1 \ \text{m} en t = 0{,}25 \ \text{s}.
• Distancia de la amarilla al orificio: d_2 = 1 \ \text{m} en t' = 0{,}35 \ \text{s}.

Paso 1: Velocidad de la amarilla después del choque

Como se desplaza en línea recta a velocidad constante:

v_2 = \frac{d_2}{t'} = \frac{1 \ \text{m}}{0{,}35 \ \text{s}} = 2{,}86 \ \text{m/s}

Paso 2: Velocidad inicial de la bola blanca

v_1 = \frac{d_1}{t} = \frac{1 \ \text{m}}{0{,}25 \ \text{s}} = 4{,}00 \ \text{m/s} \quad \text{(dirigida hacia } +x\text{)}

Paso 3: Conservación del momento lineal en el eje y

Antes del choque el momento en y es cero (la blanca va por +x y la amarilla está en reposo); después, la blanca se desvía hacia +y y la amarilla hacia -y:

m_1 v_1 \sin 0^\circ + m_2 v_{2i} \sin 0^\circ = m_1 v'_1 \sin 28^\circ - m_2 v_2 \sin 31^\circ

0 = m_1 v'_1 \sin 28^\circ - m_2 v_2 \sin 31^\circ

Paso 4: Sustitución y despeje de v'_1

m_1 v'_1 \sin 28^\circ = m_2 v_2 \sin 31^\circ

v'_1 = \frac{m_2 \, v_2 \, \sin 31^\circ}{m_1 \, \sin 28^\circ} = \frac{0{,}15 \ \text{kg} \times 2{,}86 \ \text{m/s} \times 0{,}5150}{0{,}18 \ \text{kg} \times 0{,}4695}

v'_1 = \frac{0{,}2207 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}}{0{,}0845 \ \text{kg}} = 2{,}61 \ \text{m/s}

Paso 5: Componentes de la velocidad resultante

v'_{1x} = v'_1 \cos 28^\circ = 2{,}61 \times 0{,}8829 = 2{,}30 \ \text{m/s}

v'_{1y} = v'_1 \sin 28^\circ = 2{,}61 \times 0{,}4695 = 1{,}23 \ \text{m/s}

Paso 6: Verificación con el eje x (control de coherencia)

El momento total inicial es p_x = m_1 v_1 = 0{,}18 \times 4{,}00 = 0{,}72 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}.

El momento final en x (con v'_1 = 2{,}61 \ \text{m/s}) sería:

p'_x = m_1 v'_1 \cos 28^\circ + m_2 v_2 \cos 31^\circ = 0{,}18(2{,}30) + 0{,}15(2{,}46) = 0{,}78 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}

Es decir, se desvía apenas un 8 % respecto de 0{,}72 \ \text{kg} \cdot \text{m/s}, discrepancia atribuible a que los ángulos de la figura (28^\circ y 31^\circ) son valores redondeados y el choque no es perfectamente ideal. Si se exige la conservación exacta en x, se obtendría v'_1 \approx 2{,}22 \ \text{m/s}; el valor más consistente con la dinámica del sistema (conservación del momento perpendicular, que no depende de la velocidad previa) es v'_1 \approx 2{,}6 \ \text{m/s}.