Enunciado: dos vehículos chocan en el punto C de un cruce de carreteras perpendiculares, quedan enganchados, se desplazan por el asfalto hasta B y se deslizan por la hierba hasta detenerse en A. Se pide calcular la rapidez de los implicados antes y después del accidente.
¿Qué principios físicos se aplican?
- En el instante del choque (punto C) no existen fuerzas externas relevantes en la dirección del movimiento, por lo que se conserva el momento lineal del sistema de los dos vehículos: \vec{p}_{\text{inicial}} = \vec{p}_{\text{final}}
- Como los vehículos quedan enganchados, el choque es perfectamente inelástico: m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = (m_1 + m_2)\vec{v}_C
- Del punto C al punto A la única fuerza que hace trabajo (en sentido opuesto al movimiento) es la de rozamiento, de modo que se aplica el teorema energía–trabajo: W_{\text{roz}} = \Delta K
se usa conservación del momento lineal en el choque y el teorema energía–trabajo con la fuerza de fricción durante el deslizamiento.
Velocidad conjunta justo después del choque (punto C)
- Las carreteras son perpendiculares: tomamos el eje x para un vehículo y el eje y para el otro.
- Componente x: m_1v_{1x} + m_2v_{2x} = (m_1+m_2)v_{Cx} \Rightarrow v_{Cx} = \frac{m_1 v_1}{m_1 + m_2} (si el segundo venía en y).
- Componente y: v_{Cy} = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2}
- Magnitud de la rapidez en C: v_C = \sqrt{v_{Cx}^2 + v_{Cy}^2} = \frac{\sqrt{(m_1v_1)^2 + (m_2v_2)^2}}{m_1 + m_2}
v_C = \dfrac{\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2}}{m_1+m_2}, dirigida según la diagonal del triángulo formado por los momentos de ambos vehículos.
Rapidez en el punto B (fin del tramo de asfalto)
- Fuerza de rozamiento sobre el conjunto: f_{\text{asf}} = \mu_{\text{asf}}(m_1+m_2)g
- Trabajo de esa fuerza en el trayecto CB de longitud d_{CB}: W = -f_{\text{asf}}\,d_{CB} = -\mu_{\text{asf}}(m_1+m_2)g\,d_{CB}
- Teorema energía–trabajo: \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_B^2 - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_C^2 = -\mu_{\text{asf}}(m_1+m_2)g\,d_{CB}
- Simplificando (m_1+m_2) y despejando: v_B = \sqrt{v_C^2 - 2\mu_{\text{asf}}\,g\,d_{CB}}
v_B = \sqrt{v_C^2 - 2\mu_{\text{asf}} g d_{CB}}.
Rapidez al llegar a A y verificación
- En el tramo de hierba BA actúa f_{\text{hierba}} = \mu_{\text{hierba}}(m_1+m_2)g con \mu_{\text{hierba}} > \mu_{\text{asf}}.
- Aplicando el teorema energía–trabajo de B a A: 0 - \frac{1}{2}(m_1+m_2)v_B^2 = -\mu_{\text{hierba}}(m_1+m_2)g\,d_{BA}
- Se cumple entonces v_B = \sqrt{2\mu_{\text{hierba}} g\,d_{BA}}
- Combiniendo los dos tramos se obtiene la relación que permite deducir v_C a partir de las marcas: v_C^2 = 2g\left(\mu_{\text{asf}}d_{CB} + \mu_{\text{hierba}}d_{BA}\right)
v_A = 0 y v_C = \sqrt{2g\left(\mu_{\text{asf}}d_{CB}+\mu_{\text{hierba}}d_{BA}\right)}, con lo que se retrocalcula la velocidad de cada vehículo antes del choque.
