Ejercicio 66
Contexto: Continuación de un problema cuyos datos (masas de los vehículos, velocidades antes del choque, coeficiente de rozamiento del asfalto, altura o distancias) están en la página 66 del libro. Las respuestas se dan de forma general, sustituyendo los valores del problema previo.
Parte 66.a
¿Cuánto vale la fuerza de rozamiento en ese tramo?
- En el asfalto actúan tres fuerzas verticales sobre el cuerpo: el peso \vec{P} = m\vec{g} hacia abajo, la fuerza normal \vec{N} hacia arriba y el rozamiento \vec{f} horizontal, opuesto al movimiento.
- Como no hay aceleración vertical: N = P = m\cdot g.
- Ley de rozamiento de Coulomb: f = \mu\cdot N.
- Sustituyendo: f = \mu\cdot m\cdot g, con g = 9{,}8\,\text{m/s}^{2}.
Respuesta
f = \mu\,m\,g (sustituir \mu y m del problema).
Parte 66.b
¿Qué distancia recorrieron por el asfalto?
- Aplicamos el teorema trabajo–energía en el tramo con rozamiento: W_{\text{roz}} = \Delta E_k.
- El trabajo del rozamiento es W_{\text{roz}} = -f\cdot d, y el cambio de energía cinética es \Delta E_k = \frac{1}{2}m\,v_{f}^{2} - \frac{1}{2}m\,v_{0}^{2}.
- Igualando: -f\cdot d = \frac{1}{2}m\,v_{f}^{2} - \frac{1}{2}m\,v_{0}^{2}.
- Si el cuerpo se detiene (v_{f} = 0): d = \frac{\frac{1}{2}m\,v_{0}^{2}}{f} = \frac{v_{0}^{2}}{2\,\mu\,g}.
Respuesta
d = \frac{v_{0}^{2}}{2\,\mu\,g}.
Parte 66.c
¿Cuál fue la aceleración en ese tramo?
- Segunda ley de Newton en el sentido del movimiento: \sum F = m\,a.
- La única fuerza horizontal es el rozamiento, en sentido contrario: -f = m\,a.
- Sustituyendo f = \mu\,m\,g: -\mu\,m\,g = m\,a.
- Cancelamos m: a = -\mu\,g (desaceleración).
Respuesta
|a| = \mu\,g = \mu \times 9{,}8\,\text{m/s}^{2}.
Parte 66.d
¿Con qué velocidad se movían tras el choque?
- Durante el choque interno (choque súbito) se conserva el momento lineal: \sum \vec{p}_{\text{antes}} = \sum \vec{p}_{\text{después}}.
- En un choque completamente inelástico (los cuerpos quedan unidos): m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = (m_{1}+m_{2})\,v_{f}.
- Despejando la velocidad común tras el choque:
- v_{f} = \frac{m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Respuesta
v_{f} = \dfrac{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}.
Parte 66.e
¿Cuál es la cantidad de movimiento tras el choque?
- Definición de cantidad de movimiento: \vec{p} = m\,\vec{v}.
- Tras el choque la masa es la combinación M = m_{1}+m_{2} y la velocidad es la común v_{f}.
- Sustituyendo: p_{f} = (m_{1}+m_{2})\,v_{f}.
- Por conservación del momento, esto es igual a la cantidad de movimiento total antes del choque: p_{f} = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}.
Nota: Para obtener valores numéricos hay que sustituir masas, velocidades, \mu y distancias dados en la página 66 del libro.
Respuesta
p = (m_{1}+m_{2})\,v_{f}.
