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Fuerza, campo, potencial y trabajo eléctrico sobre la carga q₂

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

b) $F=k|q_1q_2|/r^2$ siguiendo la recta que une las cargas. c) $\vec{E}=k q_1/r^2\,\hat{u}$ (afuera si $q_1>0$ ). d) $V=kq_1/r$ . e) $W=q(V_2-V_0)=kqq_1(1/r-1/r_0)$ J.

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Solución — Página 133

Fisica 2° · 2024

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Ejercicio 132

Esta página contiene los literales b), c), d) y e) de un ejercicio de electrostática. Los valores de las cargas y sus posiciones se dan en la página anterior (pág. 131), por lo que se resuelve de forma simbólica, con $q_{1}$ como carga generadora situada en el origen y $q_{2}$ a una distancia $r$ del origen. Sustituya los datos de su libro al final.

Parte 132.b

Determino la fuerza eléctrica sobre la carga $q_{2}$ .

La ley de Coulomb establece que dos cargas puntuales $q_{1}$ y $q_{2}$ separadas por $r$ se atraen (signos iguales se repelen) con:

Módulo: $F = k\,\dfrac{|q_{1}\,q_{2}|}{r^{2}}$ , con $k = 9\times10^{9}\;\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{C}^{2}$ .
Expresión vectorial: $\vec{F}_{21} = k\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{r^{2}}\;\hat{u}$ , donde $\hat{u}$ es el versor que apunta desde $q_{1}$ hacia $q_{2}$ .
Regla de signos: si $q_{1}$ y $q_{2}$ tienen igual signo, $\vec{F}$ sobre $q_{2}$ apunta hacia afuera (repulsión, $F>0$ en $\hat{u}$ ); si tienen signos opuestos, apunta hacia $q_{1}$ (atracción).
Dirección: siempre a lo largo de la recta que une ambas cargas; si $q_{2}$ está sobre el eje $x$ , $\vec{F} = F\,\hat{i}$ .

Respuesta

$F = k\,\dfrac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}$ , dirigida a lo largo de la línea que une $q_{1}$ con $q_{2}$ .

Parte 132.c

Establezco el vector intensidad de campo eléctrico sobre $q_{2}$ .

Definición: $\vec{E} = \dfrac{\vec{F}_{2}}{q_{2}}$ , es decir, la fuerza por unidad de carga.
Sustituyendo la ley de Coulomb: $\vec{E} = k\,\dfrac{q_{1}}{r^{2}}\;\hat{u}$ .
El campo $\vec{E}$ no depende de $q_{2}$ : lo produce solo la carga $q_{1}$ .
Si $q_{1}>0$ , $\vec{E}$ apunta hacia afuera (en la dirección $\hat{u}$ ); si $q_{1}<0$ , apunta hacia $q_{1}$ .
Componente si todo está sobre el eje $x$ : $\vec{E} = k\,\dfrac{q_{1}}{r^{2}}\;\hat{i}$ .

Respuesta

$\vec{E} = k\,\dfrac{q_{1}}{r^{2}}\;\hat{u}$ , con sentido hacia afuera si $q_{1}>0$ y hacia la carga si $q_{1}<0$ .

Parte 132.d

Determino el potencial eléctrico sobre $q_{2}$ .

El potencial eléctrico es escalar: $V = k\,\dfrac{q_{1}}{r}$ .
Se obtiene integrando el campo: $V = -\displaystyle\int_{\infty}^{r}\vec{E}\cdot d\vec{l} = -\int_{\infty}^{r}k\,\dfrac{q_{1}}{r'^{2}}dr' = k\,\dfrac{q_{1}}{r}$ .
Unidad: $1\;\text{V} = 1\;\text{J}/\text{C}$ ; se expresa habitualmente en voltios o en $\text{kV}$ .
Signo: si $q_{1}>0$ , $V>0$ ; si $q_{1}<0$ , $V<0$ . El punto infinito se toma como referencia ( $V_{\infty}=0$ ).
Relación con el campo: $\vec{E} = -\vec{\nabla}V$ , por lo que el potencial crece en el sentido contrario al campo.

Respuesta

$V = k\,\dfrac{q_{1}}{r}$ en el punto donde está $q_{2}$ .

Parte 132.e

Determino el trabajo que se requiere para mover una carga de $q=1\;\mu\text{C}$ desde el origen de coordenadas hasta el punto $q_{2}$ .

El trabajo del campo eléctrico es $W_{c} = -\Delta U = -q\,\Delta V$ ; el trabajo externo necesario (movimiento lento, sin cambio de energía cinética) es:

$W_{e} = q\,(V_{\text{final}} - V_{\text{inicial}})$

Estado inicial (origen): si la única fuente externa es $q_{1}$ , situada a una distancia $r_{0}$ del origen, $V_{0} = k\,\dfrac{q_{1}}{r_{0}}$ .
Estado final (punto de $q_{2}$ ): $V_{2} = k\,\dfrac{q_{1}}{r}$ .
Sustituyendo: $W_{e} = q\,k\,q_{1}\left(\dfrac{1}{r} - \dfrac{1}{r_{0}}\right)$ .
Con $q = 1\;\mu\text{C} = 1\times10^{-6}\;\text{C}$ : $W_{e} = (1\times10^{-6})\,(9\times10^{9})\,q_{1}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_{0}}\right)\;\text{J}$ .
Si el origen está lejos ( $r_{0}\to\infty$ ), $V_{0}=0$ y $W_{e} = q\,V_{2} = k\,\dfrac{q\,q_{1}}{r}$ .

Respuesta

$W_{e} = q\,(V_{2}-V_{0}) = k\,q\,q_{1}\left(\dfrac{1}{r}-\dfrac{1}{r_{0}}\right)$ julios, con $q=1\times10^{-6}\;\text{C}$ .

Contenido de la página

Continuación del ejercicio: carga $q_{2}$

b) Determino la fuerza eléctrica sobre la carga $q_{2}$ .

c) Establezco el vector intensidad de carga eléctrica (campo eléctrico) sobre $q_{2}$ .

d) Determino el potencial eléctrico sobre $q_{2}$ .

e) Determino el trabajo que se requiere para mover una carga de $q=1\;\mu\text{C}$ desde el origen de coordenadas hasta el punto $q_{2}$ .

Cada literal incluye una cuadrícula para el desarrollo de la resolución.

Página 132 · Texto de Física

Ejemplos resueltos

Ejemplo ilustrativo (valores arbitrarios, no los del libro): $q_{1}=2\;\mu\text{C}$ en el origen y $q_{2}$ a $r=0.3\;\text{m}$ en el eje $x$ . Calcular $F$ , $\vec{E}$ , $V$ y el trabajo para mover $q=1\;\mu\text{C}$ desde el origen hasta $q_{2}$ (suponiendo $V_{0}=0$ ).

$F = (9\times10^{9})\,\dfrac{(2\times10^{-6})(5\times10^{-6})}{(0.3)^{2}} = 1.0\;\text{N}$ (repulsión, sentido $+x$ ).
$\vec{E} = k\,\dfrac{q_{1}}{r^{2}}\hat{i} = (9\times10^{9})\dfrac{2\times10^{-6}}{0.09}\hat{i} = 2.0\times10^{5}\;\text{N/C}\;\hat{i}$ .
$V = k\,\dfrac{q_{1}}{r} = (9\times10^{9})\dfrac{2\times10^{-6}}{0.3} = 6.0\times10^{4}\;\text{V}$ .
$W_{e} = qV = (1\times10^{-6})(6.0\times10^{4}) = 0.060\;\text{J} = 60\;\text{mJ}$ .

Tabla

Literal	Magnitud	Fórmula	Unidad SI
b)	Fuerza eléctrica	$F = k\,\dfrac{\|q_1 q_2\|}{r^2}$	$\text{N}$
c)	Campo eléctrico	$\vec{E} = k\,\dfrac{q_1}{r^2}\,\hat{u}$	$\text{N/C}$ o $\text{V/m}$
d)	Potencial eléctrico	$V = k\,\dfrac{q_1}{r}$	$\text{V}$
e)	Trabajo externo	$W_e = q\,(V_2 - V_0)$	$\text{J}$

Diagrama

graph LR
  A["Ley de Coulomb<br/>F = k·q1·q2 / r²"] --> B["Campo eléctrico<br/>E = F / q2 = k·q1 / r² · û"]
  B --> C["Potencial eléctrico<br/>V = k·q1 / r"]
  C --> D["Trabajo externo<br/>We = q·(V2 − V0)"]
  A --> B
  B --> D

Fórmulas y ecuaciones

F = $k\$ , $\dfrac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}$

$\vec{E}$ = $k\$ , $\dfrac{q_{1}}{r^{2}}$ $\$ , $\hat{u}$

V = $k\$ , $\dfrac{q_{1}}{r}$

$W_{e}$ = $q\,\Delta$ V

F = $k\$ , $\frac{|q_{1}q_{2}|}{r^{2}}$

$\vec{F}@@MATH_0@@\$ , $\hat{u}$

$\vec{E}$ = $\frac{\vec{F}_{2}}{q_{2}}$ = $k\$ , $\frac{q_{1}}{r^{2}}$ $\$ , $\hat{u}$

V = $k\$ , $\frac{q_{1}}{r}$

$W_{e}$ = $q\,(V_{2}$ - $V_{0})$ = $k\,q\,q_{1}\left(@@MATH_0@@\right)$

Glosario (5)

Fuerza eléctrica: Interacción de atraer o repeler entre dos cargas, cuyo módulo obedece a la ley de Coulomb.
Campo eléctrico: Vector que describe la fuerza por unidad de carga en un punto del espacio, producido por otras cargas.
Potencial eléctrico: Energía potencial por unidad de carga en un punto, escalar y medido en voltios.
Versor: Vector unitario que indica solo la dirección y el sentido de un vector.
Trabajo externo: Trabajo realizado por una fuerza exterior para mover una carga sin acelerarla, igual a $q\Delta V$.

Preguntas para practicar

¿Por qué el campo eléctrico calculado en el literal c) no depende de la carga $q_{2}$?

El campo eléctrico describe la influencia de otras cargas en un punto del espacio; $q_{2}$ solo es la "sonda" que permite medirlo mediante $\vec{E}=\vec{F}/q_{2}$. Si se duplica $q_{2}$, la fuerza se duplica, pero su cociente permanece constante, por eso el campo es independiente de la carga que lo experimenta.

¿Qué significa que el potencial eléctrico sea una magnitud escalar mientras el campo sea vectorial?

El potencial tiene solo valor numérico (positivo, negativo o cero) en cada punto y se suma algebraicamente cuando hay varias cargas, lo que facilita los cálculos. El campo es un vector con dirección y sentido, por lo que su suma es vectorial. Aun así, ambos están relacionados por $\vec{E}=-\vec{\nabla}V$: el campo apunta hacia donde el potencial disminuye más rápido.

¿Por qué el trabajo del campo eléctrico no depende del camino recorrido?

Porque la fuerza eléctrica es conservativa: su trabajo depende únicamente de las posiciones inicial y final. En consecuencia, la energía asociada al campo es potencial, $W_{c}=-q\Delta V$, y el trabajo necesario para trasladar la carga entre dos puntos es independiente de la trayectoria, siempre que no haya pérdidas por fricción.

Temas y conceptos clave

ElectrostáticaLey de CoulombCampo eléctricoPotencial eléctricoTrabajo eléctricofuerza de Coulombcampo eléctricopotencial escalarversortrabajo externoenergía potencial eléctrica

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