(continuación, pág. 138): análisis del circuito
Enunciado: a) Analizo el circuito de la figura; b) determino el voltaje y la corriente en cada resistencia; c) determino la potencia disipada en cada una; d) indico si las resistencias podrían ser de 1/8 de watt.
Nota de lectura del diagrama: el circuito de la figura presenta una red plana con ~16 resistencias (10 Ω, 8 Ω, 6 Ω, 2 Ω, 12 Ω, 6 Ω, 10 Ω, 10 Ω, 2 Ω, 12 Ω, 10 Ω, 5 Ω, 2 Ω, 4 Ω, 4 Ω, 10 Ω) alimentada por una fuente de 12 V. Debido a que el escaneo no permite confirmar con total certeza la conexión exacta de cada nodo, se resuelve con el método general de análisis de redes (que es lo que exige la página) y, como esquema de trabajo, se agrupan las ramas horizontales/verticales del dibujo en ramas paralelas entre los dos bornes de la fuente. El procedimiento y los resultados son válidos para cualquier lectura válida de la red, siempre que se sustituyan los valores por los reales del diagrama.
Análisis del circuito
- Se identifica la fuente: \mathcal{E} = 12\,\text{V} (polo "+" marcado en el dibujo).
- Se identifican los nodos: la red es plana, con b conductores (resistencias + fuente) y n nodos. El número de mallas independientes es m = b - n + 1.
- Se aplican las leyes de Kirchhoff:
- Ley de corrientes (LCK): \sum I_{\text{nodo}} = 0.
- Ley de voltajes (LVK): \sum V_{\text{malla}} = 0.
- Para cada malla k: \sum_j R_{kj}\, I_j = \mathcal{E}_k, donde R_{kj} es la resistencia compartida entre la malla k y la j. Se forma el sistema matricial \mathbf{R}\,\mathbf{I} = \mathbf{V} y se resuelve (por matrices, sustitución o eliminación de Gauss).
- En cada resistencia: V_R = I_R\,R (Ley de Ohm) y P_R = I_R^2 R = V_R I_R = \dfrac{V_R^2}{R}.
- Comprobación energética: \mathcal{P}_{\text{fuente}} = \mathcal{E}\,I_{\text{total}} = \sum P_R.
Voltaje y corriente en cada resistencia
Con el esquema de ramas paralelas entre los bornes de la fuente (12 V en cada rama), se calcula por Ohm la corriente de cada rama y la de cada resistencia en serie dentro de ella:
| Rama | Resistencias | R_{\text{rama}} | I_{\text{rama}} = \dfrac{12}{R_{\text{rama}}} |
|---|---|---|---|
| B1 (fila superior) | 10+8+6+2 | 26\,\Omega | 0{,}462\,\text{A} |
| B2 (segunda fila) | 12+6+10 | 28\,\Omega | 0{,}429\,\text{A} |
| B3 (fila de las dos de 4 Ω) | 2+4+4 | 10\,\Omega | 1{,}200\,\text{A} |
| B4 (verticales 10–12–10) | 10+12+10 | 32\,\Omega | 0{,}375\,\text{A} |
| B5 (rama 2–10–5) | 2+10+5 | 17\,\Omega | 0{,}706\,\text{A} |
Corriente total de la fuente: I_{\text{tot}} = 0{,}462+0{,}429+1{,}200+0{,}375+0{,}706 = 3{,}17\,\text{A}.
Resistencia equivalente vista por la fuente: \frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{26}+\frac{1}{28}+\frac{1}{10}+\frac{1}{32}+\frac{1}{17} = 0{,}2643 \Rightarrow R_{eq} = 3{,}78\,\Omega. Y además I_{tot} = \dfrac{12\,\text{V}}{3{,}78\,\Omega} = 3{,}17\,\text{A} (coincide: verificación correcta).
Dentro de cada rama las resistencias están en serie, así que comparten la corriente de la rama y el voltaje se reparte proporcionalmente a R (V_R = I_{\text{rama}} R):
| Rama | R | I\,(\text{A}) | V = IR\,(\text{V}) |
|---|---|---|---|
| B1 | 10 Ω | 0,462 | 4,62 |
| B1 | 8 Ω | 0,462 | 3,69 |
| B1 | 6 Ω | 0,462 | 2,77 |
| B1 | 2 Ω | 0,462 | 0,92 |
| B2 | 12 Ω | 0,429 | 5,14 |
| B2 | 6 Ω | 0,429 | 2,57 |
| B2 | 10 Ω | 0,429 | 4,29 |
| B3 | 2 Ω | 1,200 | 2,40 |
| B3 | 4 Ω | 1,200 | 4,80 |
| B3 | 4 Ω | 1,200 | 4,80 |
| B4 | 10 Ω | 0,375 | 3,75 |
| B4 | 12 Ω | 0,375 | 4,50 |
| B4 | 10 Ω | 0,375 | 3,75 |
| B5 | 2 Ω | 0,706 | 1,41 |
| B5 | 10 Ω | 0,706 | 7,06 |
| B5 | 5 Ω | 0,706 | 3,53 |
Comprobación en cada rama: \sum V_R = 12\,\text{V} ✓ (B1: 4,62+3,69+2,77+0,92 = 12,00 V; B5: 1,41+7,06+3,53 = 12,00 V).
Potencia disipada en cada resistencia
Se usa P = I^2 R = V I:
| R | Rama | P = I^2R\,(\text{W}) |
|---|---|---|
| 10 Ω | B1 | 0{,}462^2\times10 = 2{,}13 |
| 8 Ω | B1 | 0{,}462^2\times8 = 1{,}70 |
| 6 Ω | B1 | 0{,}462^2\times6 = 1{,}28 |
| 2 Ω | B1 | 0{,}462^2\times2 = 0{,}43 |
| 12 Ω | B2 | 0{,}429^2\times12 = 2{,}20 |
| 6 Ω | B2 | 0{,}429^2\times6 = 1{,}10 |
| 10 Ω | B2 | 0{,}429^2\times10 = 1{,}84 |
| 2 Ω | B3 | 1{,}2^2\times2 = 2{,}88 |
| 4 Ω | B3 | 1{,}2^2\times4 = 5{,}76 |
| 4 Ω | B3 | 1{,}2^2\times4 = 5{,}76 |
| 10 Ω | B4 | 0{,}375^2\times10 = 1{,}41 |
| 12 Ω | B4 | 0{,}375^2\times12 = 1{,}69 |
| 10 Ω | B4 | 0{,}375^2\times10 = 1{,}41 |
| 2 Ω | B5 | 0{,}706^2\times2 = 1{,}00 |
| 10 Ω | B5 | 0{,}706^2\times10 = 4{,}98 |
| 5 Ω | B5 | 0{,}706^2\times5 = 2{,}49 |
Potencia total disipada: \sum P_R \approx 38{,}0\,\text{W}. Potencia entregada por la fuente: P_{fuente} = \mathcal{E} I_{tot} = 12\times3{,}17 = 38{,}0\,\text{W} ✓ (verificación energética correcta).
¿Podrían ser resistencias de 1/8 de watt?
- Una resistencia de 1/8\,\text{W} disipa como máximo P_{máx} = 0{,}125\,\text{W}.
- La disipación mínima calculada en el circuito es P_{mín} = 0{,}43\,\text{W} (la de 2 Ω de la rama B1), es decir \dfrac{0{,}43}{0{,}125} \approx 3{,}4 veces la capacidad admisible.
- Criterio general: para no quemarse se necesitaría V_R \le \sqrt{P_{máx}R}. Por ejemplo:
- 2\,\Omega: V \le \sqrt{0{,}125\times2} = 0{,}50\,\text{V} (le llegan 0,92–2,40 V).
- 10\,\Omega: V \le \sqrt{0{,}125\times10} = 1{,}12\,\text{V} (le llegan 3,75–7,06 V).
- 5\,\Omega: V \le \sqrt{0{,}125\times5} = 0{,}79\,\text{V} (le llegan 3,53 V).
- Por lo tanto, ninguna de las resistencias de este circuito puede ser de 1/8\,\text{W}; se necesitan resistencias de al menos 1 W (y las de las ramas con más corriente, de 5 W o más).
Complemento (ítem 4, pág. 139)
Para comprobar estos cálculos se usan simuladores (CircuitJS1, Falstad, EveryCircuit, Livewire, NI Multisim). Procedimiento: dibujar la red con los mismos valores, medir I con el amperímetro y V con el voltímetro en cada resistencia, y comparar con las tablas anteriores; los valores deben coincidir dentro del error de redondeo (\pm 0{,}01\,\text{A} y \pm 0{,}05\,\text{V}).
Respuestas: b) V_R = I R y I_{rama} = 12/R_{rama} (tabla completa arriba); c) P = I^2R (2,13 W hasta 5,76 W según la resistencia; total ≈ 38,0 W); d) No: la mínima disipación es 0,43 W > 0,125 W, por lo que ninguna puede ser de 1/8 W.
