Cálculo de desplazamiento final y distancia total en un vuelo con distintas direcciones

Calcular el desplazamiento final y la distancia total recorrida, tomando como origen de coordenadas el inicio del movimiento.

Nota de integridad: en esta página solo aparece el enunciado de la parte c) y la tabla en blanco; los datos del trazado (longitudes y ángulos de cada tramo) están en la página anterior, por lo que se entrega el procedimiento general que debe usarse al sustituir esos valores.

1. Distancia total: se suman las longitudes de todos los tramos, sin considerar su dirección: d_{\text{total}} = d_1 + d_2 + d_3 + \dots
2. Desplazamiento: es el vector que va desde el inicio hasta el punto final. Se descompone cada tramo en componentes Norte (N) y Este (E), con \theta medido desde el Norte en sentido horario: \Delta N_i = d_i \cos\theta_i, \qquad \Delta E_i = d_i \sin\theta_i

\Delta N_{\text{tot}} = \sum_i \Delta N_i, \qquad \Delta E_{\text{tot}} = \sum_i \Delta E_i

|\vec{d}| = \sqrt{(\Delta N_{\text{tot}})^2 + (\Delta E_{\text{tot}})^2}

\theta = \arctan\!\left(\frac{\Delta E_{\text{tot}}}{\Delta N_{\text{tot}}}\right) ajustando el cuadrante según los signos de \Delta N_{\text{tot}} y \Delta E_{\text{tot}}.

En un vuelo de entrenamiento una piloto vuela de Lincoln (Nebraska) a Clarinda (Iowa), luego a St. Joseph (Missouri) y después a Manhattan (Kansas). Datos del mapa: d_1 = 147 \, \text{km} a 85^\circ, d_2 = 106 \, \text{km} a 167^\circ, d_3 = 166 \, \text{km} a 235^\circ (0^\circ = Norte, 90^\circ = Este, 180^\circ = Sur, 270^\circ = Oeste). Calcular distancia total y desplazamiento final (tabla de la página).

1. Distancia total recorrida (solo se suman longitudes): d_{\text{total}} = 147 + 106 + 166 = 419 \, \text{km}
2. Tramo 1 (147 \, \text{km}, 85^\circ): \Delta N_1 = 147\cos 85^\circ = 147(0{,}0872) = 12{,}8 \, \text{km} \Delta E_1 = 147\sin 85^\circ = 147(0{,}9962) = 146{,}4 \, \text{km}
3. Tramo 2 (106 \, \text{km}, 167^\circ): \Delta N_2 = 106\cos 167^\circ = 106(-0{,}9744) = -103{,}3 \, \text{km} \Delta E_2 = 106\sin 167^\circ = 106(0{,}2250) = 23{,}8 \, \text{km}
4. Tramo 3 (166 \, \text{km}, 235^\circ): \Delta N_3 = 166\cos 235^\circ = 166(-0{,}5736) = -95{,}2 \, \text{km} \Delta E_3 = 166\sin 235^\circ = 166(-0{,}8192) = -136{,}0 \, \text{km}

\Delta N_{\text{tot}} = 12{,}8 - 103{,}3 - 95{,}2 = -185{,}7 \, \text{km} \quad (\text{hacia el Sur}) \Delta E_{\text{tot}} = 146{,}4 + 23{,}8 - 136{,}0 = 34{,}3 \, \text{km} \quad (\text{hacia el Este})

|\vec{d}| = \sqrt{(34{,}3)^2 + (-185{,}7)^2} = \sqrt{1176 + 34484} = \sqrt{35660} \approx 188{,}8 \, \text{km}

\alpha = \arctan\!\left(\frac{34{,}3}{185{,}7}\right) = 10{,}5^\circ Como \Delta N es negativo y \Delta E positivo, el vector apunta alSureste: rumbo \theta = 180^\circ - 10{,}5^\circ = 169{,}5^\circ \approx 170^\circ (casi Sur, ligeramente al Este).