Posición final y desplazamiento en coordenadas rectangulares y geográficas

Determino la posición final y el desplazamiento de cada intervalo respecto al origen de coordenadas situado 2 km a la izquierda de la posición de inicio del movimiento.

Datos y cambio de origen

1. Sea x_{0} la posición de inicio del movimiento sobre el eje x (eje este–oeste). El nuevo origen O' queda definido por:

x_{O'} = x_{0} - 2 \, \text{km}

2. Cualquier posición x se expresa en el nuevo origen mediante la traslación:

x' = x - x_{O'} = x - (x_{0} - 2)

Con y' = y si no hay desplazamiento vertical (eje norte–sur).

3. Para cada intervalo i (con i = 1, 2, 3), si el intervalo parte de x_{i,\text{ini}} y termina en x_{i,\text{fin}}:

\vec{r}_{f,i} = (x'_{i,\text{fin}},\; y_{i,\text{fin}}) \qquad \text{(posición final)}

\Delta \vec{r}_{i} = \vec{r}_{f,i} - \vec{r}_{O'} = (x'_{i,\text{fin}} - 0,\; y_{i,\text{fin}} - 0)

Nota: el desplazamiento del intervalo es $ \Delta \vec{r}_{i} = \vec{r}_{i,\text{fin}} - \vec{r}_{i,\text{ini}}@@MATH_4@@_{i} = $\vec{r}_{i$,$\text{fin}$} - $\vec{r}{O'}. ### Paso 1: Posición final en coordenadas rectangulares 1. Tomo la coordenada $x$ del punto final del intervalo (tomada del movimiento descrito en el literal a) de la página anterior). 2. Le resto la coordenada del origen: $x' = x - x_{O'}$. 3. Anoto el par ordenado $(x',\, y')$ en la columna "POSICIÓN FINAL (COORDENADAS RECTANGULARES)". ### Paso 2: Posición final en coordenadas geográficas 1. Convierto los desplazamientos rectangulares en cambios de latitud y longitud usando el radio terrestre $R = 6371 \, \text{km}$: \Delta \varphi = \frac{\Delta y}{R} , \text{(rad)} \quad \Longrightarrow \quad \Delta \varphi(^\circ) = \Delta \varphi \times \frac{180^\circ}{\pi} \Delta \lambda = \frac{\Delta x}{R \cos \varphi{0}} , \text{(rad)} \quad \Longrightarrow \quad \Delta \lambda(^\circ) = \Delta \lambda \times \frac{180^\circ}{\pi} 2. Sumo estos cambios a la latitud y longitud del origen geográfico $O'$ (latitud $\varphi_{0}$, longitud $\lambda_{0}$): \varphi_{f} = \varphi_{0} + \Delta \varphi \qquad \lambda_{f} = \lambda_{0} + \Delta \lambda 3. Anoto $(\varphi_{f},\, \lambda_{f})$ en la columna "POSICIÓN FINAL (COORDENADAS GEOGRÁFICAS)". ### Paso 3: Desplazamiento en coordenadas rectangulares 1. El desplazamiento es un vector: $ $\Delta$ $\vec{r}$ = $\vec{r}_{f}$ - $\vec{r}_{i}. 2. Componentes: $ \Delta x' = x'_{f} - $x'_{i} y $ $\Delta$ y = $y_{f}$ - $y_{i}. 3. Se anota como (\Delta x',\, \Delta y); su módulo es |\Delta \vec{r}| = \sqrt{(\Delta x')^{2} + (\Delta y)^{2}}.

Paso 4: Desplazamiento en coordenadas geográficas

1. Aplico las fórmulas de conversión del Paso 2 a $ \Delta x' y \Delta y$.
2. Se anota como (\Delta \varphi,\, \lambda), es decir, el cambio de latitud y de longitud en ^\circ o en minutos de arco (1' = \frac{1}{60}^\circ).

Tabla a completar (metodología)

Ejemplo ilustrativo (datos supuestos, sólo para mostrar el procedimiento)

Supongamos que el inicio está en x_{0}=0, y_{0}=0, de modo que el origen nuevo es x_{O'} = -2 \, \text{km}, y que el punto final del Intervalo 1 es x_{1f} = 5 \, \text{km}, y_{1f}=3 \, \text{km}:

1. x'_{1f} = 5 - (-2) = 7 \, \text{km}, y'_{1f} = 3 \, \text{km}. Posición final: (7;\,3) \, \text{km}.
2. Desplazamiento desde el origen: (7 - 0;\, 3 - 0) = (7;\,3) \, \text{km}; módulo |\Delta \vec{r}| = \sqrt{7^{2}+3^{2}} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58} \approx 7,62 \, \text{km}.
3. Coordenadas geográficas (con $ \varphi_0 = 0^\circ, \lambda_0 = 0^\circ$ para el ejemplo):
   • \Delta \varphi = \dfrac{3}{6371} \, \text{rad} \times \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 0,0269^\circ.
   • \Delta \lambda = \dfrac{7}{6371 \cdot \cos 0^\circ} \, \text{rad} \times \dfrac{180^\circ}{\pi} \approx 0,0628^\circ.
4. Posición final geográfica: (0{,}0269^\circ;\, 0{,}0628^\circ).
5. Desplazamiento geográfico: \Delta \varphi = 0{,}0269^\circ \approx 1,6', \Delta \lambda = 0{,}0628^\circ \approx 3,8'.