Un coche de montaña rusa de masa m se pone en movimiento para completar una vuelta, considerando rozamiento f_k en toda la pista. Se pide: (a) el DCL de cada posición con todas las fuerzas y (b) el diagrama de la fuerza neta.
Criterio de análisis: en todo punto actúan tres fuerzas: el peso \vec{P}=m\vec{g} (vertical hacia abajo), la normal \vec{N} (perpendicular a la pista, hacia el lado curvado) y el rozamiento cinético \vec{f}_k=\mu_k N (tangente a la pista, opuesto a la velocidad). La fuerza neta es el vector suma de las tres; en el punto más bajo y más alto de la curva, su componente radial es la fuerza centrípeta \vec{F}_c=m\vec{a}_c, a_c=\dfrac{v^{2}}{R}.
Inclinada ascendente/descendente (ángulo $\theta$ con la horizontal)
- Fuerzas: \vec{P} vertical hacia abajo, con componentes P_x=mg\sin\theta (paralela a la pista, hacia abajo) y P_y=mg\cos\theta (perpendicular a la pista).
- La normal apunta perpendicular a la pista hacia el exterior: N=mg\cos\theta.
- El rozamiento es tangente y se opone a la velocidad.
- Si el coche baja: \vec{f}_k apunta hacia arriba de la pendiente.
- Si el coche sube: \vec{f}_k apunta hacia abajo de la pendiente.
- Fuerza neta (caso descendente): \vec{F}_\text{net}=\vec{P}+\vec{N}+\vec{f}_k; en el eje de la pista F_\text{net}=mg\sin\theta-\mu_k mg\cos\theta=m(g\sin\theta-\mu_k g\cos\theta). Como N=mg\cos\theta, se verifica \sum F_y=mg\cos\theta-mg\cos\theta=0 (no hay aceleración perpendicular a la pista).
Respuesta A: \vec{F}_\text{net} apunta hacia abajo de la pendiente, con magnitud F_\text{net}=mg(\sin\theta-\mu_k\cos\theta) (si el coche sube: F_\text{net}=mg(\sin\theta+\mu_k\cos\theta) hacia abajo de la pendiente).
Parte inferior de la curva (radio $R$ hacia arriba)
- Velocidad horizontal; el centro de curvatura está arriba.
- Fuerzas: peso \vec{P}=m\vec{g} hacia abajo, normal \vec{N} hacia arriba (hacia el centro) y rozamiento \vec{f}_k tangente, opuesto a la velocidad (hacia atrás).
- Eje radial (vertical): \sum F_r=N-P=m\dfrac{v^{2}}{R}\Rightarrow N=mg+m\dfrac{v^{2}}{R}=mg\left(1+\dfrac{v^{2}}{gR}\right)>mg.
- Eje tangencial: \sum F_t=-f_k=-\mu_k N, frenado del coche.
- Fuerza neta: \vec{F}_\text{net}=\vec{F}_c+\vec{f}_k, apuntando hacia arriba y hacia atrás (diagonal), con F_\text{net}=\sqrt{\left(m\frac{v^{2}}{R}\right)^2+(\mu_kN)^2}.
Respuesta B: \vec{F}_\text{net} apunta hacia arriba (hacia el centro) y en sentido contrario al movimiento.
Punto derecho de la curva (centro a la izquierda)
- Fuerzas: peso \vec{P} hacia abajo, normal \vec{N} horizontal hacia la izquierda (hacia el centro) y rozamiento \vec{f}_k tangente (vertical).
- Radial (horizontal): \sum F_r=N=m\dfrac{v^{2}}{R}\Rightarrow N=m\dfrac{v^{2}}{R} (la normal equilibra aceleración centrípeta, no al peso).
- Tangencial (vertical): si el coche sube, \sum F_t=-mg-\mu_kN (frenado fuerte); si baja, \sum F_t=-mg+\mu_kN.
- Fuerza neta: \vec{F}_\text{net}=\vec{F}_c+\vec{W}_\text{tangencial}, resultante diagonal hacia abajo-izquierda (ascenso) o hacia arriba-izquierda con componente descendente dominante (descenso).
Respuesta C: \vec{F}_\text{net} apunta hacia la izquierda (centro) y verticalmente hacia abajo (predomina el peso y el rozamiento si sube).
Punto superior de la curva (coche invertido, centro abajo)
- Fuerzas: peso \vec{P}=m\vec{g} hacia abajo, normal \vec{N} hacia abajo (hacia el centro) y rozamiento \vec{f}_k tangente opuesto a la velocidad.
- Radial (vertical, hacia abajo): \sum F_r=N+P=m\dfrac{v^{2}}{R}\Rightarrow N=m\dfrac{v^{2}}{R}-mg.
- Condición de no despegar: N\ge0\Rightarrow v\ge\sqrt{gR} (velocidad mínima en la cima).
- Tangencial: \sum F_t=-\mu_kN (frenado).
- Fuerza neta: \vec{F}_\text{net}=\vec{F}_c+\vec{f}_k, apuntando hacia abajo (centro) y tangencialmente opuesta al movimiento.
Respuesta D: \vec{F}_\text{net} apunta verticalmente hacia abajo con magnitud F_\text{net}=m\frac{v^{2}}{R}, más la componente de rozamiento.
Cuadro resumen
| Posición | Fuerzas del DCL | F_\text{net}: dirección |
|---|---|---|
| A | \vec{P}, \vec{N}\perp pista, \vec{f}_k\parallel pista | Hacia abajo de la pendiente: mg(\sin\theta\mp\mu_k\cos\theta) |
| B | \vec{P}\downarrow, \vec{N}\uparrow, \vec{f}_k tangente | Arriba (centro) y hacia atrás: \sqrt{(mv^2/R)^2+(\mu_kN)^2} |
| C | \vec{P}\downarrow, \vec{N}\rightarrow centro, \vec{f}_k tangente | Izquierda (centro) y hacia abajo (si sube) |
| D | \vec{P}\downarrow, \vec{N}\downarrow (centro), \vec{f}_k tangente | Hacia abajo: m\frac{v^{2}}{R} |
Verificación global: en B y D la normal es la fuerza que produce la aceleración centrípeta (N=mg+mv^2/R y N=mv^2/R-mg respectivamente); en C, N=mv^2/R. En A, N=mg\cos\theta y la fuerza neta no tiene componente radial.
