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Choque entre esferas de billar: conservación del momento lineal

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Respuesta rápida

$v_B' \approx 2{,}23 \, \text{m/s}$ después del choque, con $28^\circ$ respecto a la horizontal.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 62

Fisica 2° · 2024

Ejercicio 7

Determinar la velocidad de la esfera blanca posterior al choque con la esfera amarilla.

Datos del problema:

Masa de la esfera amarilla: $m_A = 150 \, \text{g} = 0{,}15 \, \text{kg}$
Masa de la bola blanca: $m_B = 180 \, \text{g} = 0{,}18 \, \text{kg}$
Tiempo desde el golpe hasta el choque: $t = 0{,}25 \, \text{s}$
La esfera amarilla recorre $1 \, \text{m}$ al orificio en $0{,}35 \, \text{s}$ después del choque.
De la figura: la esfera amarilla sale con $31^\circ$ respecto a la horizontal y la bola blanca con $28^\circ$ .

Paso 1: Velocidad de la esfera amarilla después del choque

La esfera amarilla recorre $1 \, \text{m}$ en $0{,}35 \, \text{s}$ :

$v_A' = \frac{d}{t} = \frac{1 \, \text{m}}{0{,}35 \, \text{s}} = 2{,}86 \, \text{m/s}$

Paso 2: Velocidad de la bola blanca antes del choque

La bola blanca recorre $1 \, \text{m}$ en $0{,}25 \, \text{s}$ antes de chocar, moviéndose horizontalmente:

$v_B = \frac{d}{t} = \frac{1 \, \text{m}}{0{,}25 \, \text{s}} = 4{,}00 \, \text{m/s}$

Paso 3: Conservación del momento lineal en el eje $x$

$m_B \cdot v_B = m_B \cdot v_B' \cdot \cos(28^\circ) + m_A \cdot v_A' \cdot \cos(31^\circ)$

Sustituyendo valores:

$0{,}18 \times 4{,}00 = 0{,}18 \times v_B' \times 0{,}8829 + 0{,}15 \times 2{,}86 \times 0{,}8572$

$0{,}72 = 0{,}1589 \times v_B' + 0{,}3665$

Paso 4: Despejar $v_B'$

$0{,}72 - 0{,}3665 = 0{,}1589 \times v_B'$

$0{,}3535 = 0{,}1589 \times v_B'$

$v_B' = \frac{0{,}3535}{0{,}1589} = 2{,}23 \, \text{m/s}$

Verificación (conservación del momento en $y$ )

En el eje $y$ el momento inicial vale cero (la bola blanca se movía horizontalmente):

$0 = m_B \cdot v_B' \cdot \sin(28^\circ) - m_A \cdot v_A' \cdot \sin(31^\circ)$

$m_B \cdot v_B' \cdot \sin(28^\circ) = 0{,}18 \times 2{,}23 \times 0{,}4695 = 0{,}1884 \, \text{kg·m/s}$

$m_A \cdot v_A' \cdot \sin(31^\circ) = 0{,}15 \times 2{,}86 \times 0{,}5150 = 0{,}2206 \, \text{kg·m/s}$

Hay una pequeña diferencia ( $\approx 0{,}03 \, \text{kg·m/s}$ ), atribuible al redondeo de los datos de la figura y a posibles efectos de fricción/rebote, lo cual es esperable en problemas escolares con valores simplificados.

Respuesta

$v_B' \approx 2{,}23 \, \text{m/s}$

Contenido de la página

Choque entre esferas de billar

En un juego de billar se presenta una situación como la mostrada en la figura. Se sabe que la masa de la esfera de color amarillo es de 150 gramos y la de la bola blanca es de 180 gramos; sensores de sonido y de proximidad indican que el choque entre las esferas de billar ocurre 0,25 segundos después de que el jugador golpea la esfera blanca. La esfera amarilla llega al orificio objetivo 0,35 segundos después del choque.

La bola blanca se desplaza horizontalmente (eje $x$ ) a lo largo de $1 \, \text{m}$ antes del choque. Después del choque, la bola blanca se aleja con $28^\circ$ y la esfera amarilla con $31^\circ$ , recorriendo $1 \, \text{m}$ hasta el orificio.

Pregunta: ¿Cuál es la velocidad de la esfera blanca posterior al choque?

Ejemplos resueltos

Una esfera amarilla de 150 g se mueve a 2,86 m/s a 31° respecto a la horizontal. ¿Cuál es su momento lineal en el eje $x$ ?

$p_{Ax} = m_A \cdot v_A' \cdot \cos(31^\circ) = 0{,}15 \times 2{,}86 \times 0{,}8572 = 0{,}366 \, \text{kg·m/s}$

Tabla

Cantidad	Valor	Unidad
$m_A$ (amarilla)	0,15	kg
$m_B$ (blanca)	0,18	kg
$v_B$ (antes del choque)	4,00	m/s
$v_A'$ (después del choque)	2,86	m/s
$v_B'$ (después del choque)	2,23	m/s
$\theta_B$	28°	—
$\theta_A$	31°	—

Diagrama

flowchart LR
  A[Antes del choque] --> B[Conservación del momento en x]
  B --> C[Despejar v B'
  Resultado: 2.23 m/s]

Fórmulas y ecuaciones

Conservación del momento en $x$ : $m_B v_B = m_B v_B' \cos\theta_B + m_A v_A' \cos\theta_A$

Conservación del momento en $y$ : $m_B v_B' \sin\theta_B = m_A v_A' \sin\theta_A$

Velocidad media: $v = \frac{d}{t}$

v = $\frac{d}{t}$

$m_B$ $\cdot$ $v_B$ = $m_B$ $\cdot$ $v_B'$ $\cdot$ $\cos(28^\circ)$ + $m_A$ $\cdot$ $v_A'$ $\cdot$ $\cos(31^\circ)$

$v_A'$ = $\frac{1}{0{,}35}$ = 2{,}86 $\$ , $\text{m/s}$

$v_B$ = $\frac{1}{0{,}25}$ = 4{,}00 $\$ , $\text{m/s}$

$v_B'$ = $\frac{m_B \cdot v_B - m_A \cdot v_A' \cdot \cos(31^\circ)}{m_B \cdot \cos(28^\circ)}$

Glosario (5)

Momento lineal: Producto de la masa de un cuerpo por su velocidad; se conserva en un sistema sin fuerzas externas.
Choque: Interacción breve entre dos cuerpos donde se intercambian momento lineal y energía.
Colisión bidimensional: Choque donde las velocidades tienen componentes en dos ejes independientes.
Conservación del momento: Principio por el cual el momento total de un sistema aislado permanece constante antes y después de una colisión.
Componente del momento

Preguntas para practicar

¿Por qué se conserva el momento lineal en un choque de billar?

El momento lineal se conserva porque durante el choque las fuerzas que actúan entre las bolas son internas al sistema y se anulan por la tercera ley de Newton; no hay fuerzas externas significativas en la dirección del movimiento (despreciando la fricción durante el impacto breve).

Temas y conceptos clave

Conservación del momento linealChoque bidimensionalComponentes del momentoBillar como modelo de colisiónMomento linealConservación del momentoChoque bidimensionalComponentes vectorialesVelocidad instantáneaVector velocidad