Ejercicio 6
Se realizan pruebas de seguridad para una rampa de montaña rusa: el coche parte del reposo en la cima (h = 8 m), baja por una rampa rugosa (μ = 0,2), recorre un tramo horizontal liso de 4 m y finalmente comprime un resorte de constante k. Masa del coche: m = 50 kg.
Datos: m = 50 kg, h = 8 m, μ = 0,2, s = 4 m, g = 9,8 m/s².
Parte 6.a
Energía inicial en la cima
- El coche arranca en reposo: E_{c,0} = 0.
- Su energía potencial gravitatoria es E_p = m \cdot g \cdot h.
- Sustituyendo: E_p = 50 \, \text{kg} \times 9{,}8 \, \text{m/s}^2 \times 8 \, \text{m} = 3920 \, \text{J}.
Respuesta
E_p = 3920 \, \text{J}.
Parte 6.b
Trabajo del rozamiento en la rampa rugosa
- La fuerza de rozamiento es f = \mu \cdot N = \mu \cdot m \cdot g \cdot \cos\theta.
- El trabajo es W_f = f \cdot L = \mu \, m \, g \, \cos\theta \cdot L. Como L\cos\theta = x_h (proyección horizontal de la rampa), se tiene W_f = \mu \, m \, g \, x_h.
- De la figura, la proyección horizontal de la rampa es aproximadamente x_h \approx 4 \, \text{m} (por eso L = \sqrt{4^2+8^2} = \sqrt{80} \approx 8{,}94 \, \text{m} y \theta = \arctan(8/4) \approx 63{,}4^\circ).
- Sustituyendo: W_f = 0{,}2 \times 50 \times 9{,}8 \times 4 = 392 \, \text{J}.
Respuesta
W_f = 392 \, \text{J} (energía disipada como calor).
Parte 6.c
Tramo horizontal liso de 4 m
- La superficie está marcada como "liso", es decir \mu = 0.
- Por lo tanto W_{f,\text{plano}} = 0: la energía no se degrada en este tramo.
- Toda la energía cinética que llega al pie de la rampa se conserva hasta el resorte.
Respuesta
no hay pérdida de energía en el tramo liso.
Parte 6.d
Compresión máxima del resorte
- Aplico la conservación de la energía entre la cima y el instante de máxima compresión (coche detenido, E_c = 0): mgh - W_f = \tfrac{1}{2}k x^2
- Sustituyo: 3920 - 392 = \tfrac{1}{2} k x^2 \Rightarrow 3528 = \tfrac{1}{2} k x^2.
- Despejo la compresión x: x = \sqrt{\frac{2 \times 3528}{k}} = \sqrt{\frac{7056}{k}}
- La compresión depende de la constante del resorte comercial que se adquiera. Valores típicos:
| k (N/m) | x (m) |
|---|---|
| 2 000 | 1,88 |
| 5 000 | 1,19 |
| 10 000 | 0,84 |
| 20 000 | 0,59 |
| 28 224 | 0,50 |
- Si el diseño exige que el resorte se comprima como máximo 0,50 m: k = \frac{7056}{(0{,}50)^2} = 28\,224 \, \text{N/m}
Respuesta
x = \sqrt{\dfrac{7056}{k}}; con k = 10\,000 \, \text{N/m} se obtiene x \approx 0{,}84 \, \text{m}.
Parte 6.e
Verificación (energía)
- Con k = 10\,000 \, \text{N/m} y x = 0{,}840 \, \text{m}: E_{\text{resorte}} = \tfrac{1}{2}(10\,000)(0{,}840)^2 = 3528 \, \text{J}.
- Coincide con mgh - W_f = 3920 - 392 = 3528 \, \text{J}, por lo que el balance energético se cumple.
Respuesta
la verificación es correcta: 3528 = 3528 \, \text{J}.
