Demostraciones vectoriales, paralelismo/ortogonalidad y aplicaciones geométricas

📄 ejercicios matematica 🎓 bachillerato · 2° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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14a) $t=(9\pm\sqrt{21})/6$ ; 14c) $t=2\pm\sqrt{3}$ . 15a) $Q=(5,0)$ ; 15b) $(x-6)^2+(y-6)^2=25$ ; 15c) $e\approx 0.0185$ .

📚 exercise matematica ⭐⭐⭐⭐ Dificultad 4/5 ⏱ 25 min lectura

Solución — Página 51

Matematica · 2do BGU · 2024

Ejercicio 14

a: $A\perp B$: $A\cdot B=0$

$(1-t)(t-3)+(1-2t)(t-2)=0$ : $(1-t)(t-3)=t-3-t^2+3t=-t^2+4t-3$ ; $(1-2t)(t-2)=t-2-2t^2+4t=-2t^2+5t-2$ . Suma: $-3t^2+9t-5=0\Rightarrow 3t^2-9t+5=0\Rightarrow t=(9\pm\sqrt{81-60})/6=(9\pm\sqrt{21})/6$ .

Ejercicio 14

c: $A\parallel B$: determinante $=0$

$(1-t)(t-2)-(1-2t)(t-3)=0$ . $(1-t)(t-2)=t-2-t^2+2t=-t^2+3t-2$ ; $(1-2t)(t-3)=t-3-2t^2+6t=-2t^2+7t-3$ . Restando: $-t^2+3t-2-(-2t^2+7t-3)=t^2-4t+1=0\Rightarrow t=(4\pm\sqrt{12})/2=2\pm\sqrt{3}$ .

Ejercicio 15

a: paralelogramo MNPQ con M(2,1), N(-1,0), P(2,-1)

Vértice $Q=M+P-N=(2+2-(-1), 1-1-0)=(5,0)$ .

Ejercicio 15

b: circunferencia con diámetro AB, $A(2,3), B(10,9)$

Centro $=(6,6)$ ; radio $=|AB|/2=\sqrt{64+36}/2=\sqrt{100}/2=5$ . Ecuación: $(x-6)^2+(y-6)^2=25$ .

Ejercicio 15

c: excentricidad del satélite

Semieje mayor $a=(d_{max}+d_{min}+2R)/2=(1255+1542+2\cdot 6371)/2=(2797+12742)/2=15539/2=7769.5$ km. Distancia foco-centro $c=(d_{max}-d_{min})/2=(1255-1542)/2=-143.5$ km (magnitud $143.5$ ).

Espera: apogeo $d_{max}$ es la distancia máxima de la superficie: entonces $r_a=R+d_{max}=6371+1542=7913$ km y $r_p=R+d_{min}=6371+1255=7626$ km (los valores 1255 y 1542 pueden invertirse). $a=(r_a+r_p)/2=(7913+7626)/2=7769.5$ ; $c=(r_a-r_p)/2=143.5$ . $e=c/a=143.5/7769.5\approx 0.01847$ .

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Tema 5: Planos

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Resuelvo el siguiente ejercicio: Sea el trapecio ABCD, siendo M y N los puntos medios de las diagonales. Demuestro vectorialmente que:

UN=4 (OC - AB) b) -MN| |AB c) -MN | ¡Dé

= So 13. Determino el vector X, expresado en función de los vectores 4 y b del cuadrado MNPQ.

Encuentro el valor de £, dados los vectores A=(1 -t,1-2t) y B=(t-3,t-2), de manera que:

a) A y 83 sean ortogonales b) se cumpla que V3|A|=|B|

c) Ay GB sean paralelos

Resuelvo los siguientes problemas:

a) La unión consecutiva de los puntos M, N, P, Q forma un paralelogramo. Si las coordenadas de los tres primeros puntos son M (2, 1); N (-1, 0) y P (2, -1), utilizando vectores, encuentro el punto Q y la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos P y Q.

b) Escribo la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos A (2, 3) y B (10, 9), cuyo diáme- tro es el segmento AB.

c) Un satélite se lanza vinculado a un cohete, para ser colocado en órbita elíptica alrededor de la Tierra, con el centro de esta en uno de los focos de la elipse. Calculo la excentricidad de la órbita del satélite si la distancia máxima de la superficie de la Tierra es de 1 255 km y la distancia mínima de la superficie de la Tierra es de 1 542 km. Además, se conoce que el radio medio de la Tierra es de 6 371 km.

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