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Esta página continúa el ejercicio 103 (página 103) sobre un amortiguador, modelado como un sistema masa-resorte que ejecuta movimiento armónico (en la práctica, armónico amortiguado). Los tres incisos son:

• a) Ubicar la posición de la máxima aceleración del amortiguador (graficado en la cuadrícula).
• b) Determinar la constante teórica del movimiento e indicar si es correcta, usando que un amortiguador típico tiene rigidez k = 1000 \ \text{N/m}.
• c) Determinar el porcentaje de pérdida energética, sabiendo que la pérdida (eficiencia energética en el texto) es de 20 \ \text{J}.

Nota de integridad: la página 104 no muestra los datos numéricos del experimento (masa m, amplitud A, periodo medido T_{med} ni energía inicial E_0), que figuran en la página 103. Por eso se resuelven las tres partes de forma general, con la sustitución simbólica completa; al sustituir los valores de la página 103 se obtiene el número final.

1. En un sistema masa-resorte, la fuerza restauradora es F = -k\,x (ley de Hooke).
2. Aplicando la segunda ley de Newton, F = m\,a, la aceleración es a = -\frac{k}{m}\,x = -\omega^{2}\,x, \qquad \omega = \sqrt{\frac{k}{m}}
3. La aceleración es proporcional a la elongación y de signo contrario a ella: cuanto más estirado (o comprimido) está el resorte, mayor es la aceleración.
4. Por lo tanto, el módulo máximo se alcanza cuando |x| es máximo, es decir en los extremos de la oscilación, x = +A \quad \text{y} \quad x = -A, \qquad a_{max} = \omega^{2}A
5. En esos mismos puntos la velocidad es nula (v = 0), porque la energía está íntegramente potencial: E = \frac{1}{2}kA^{2}.
6. En el gráfico de cuadrícula se debe trazar a(t) = -\omega^{2}A\cos(\omega t), que alcanza su valor máximo positivo cuando la elongación es -A (amortiguador comprimido) y su máximo negativo cuando la elongación es +A (amortiguador estirado).

1. La «constante del movimiento armónico» puede expresarse como la frecuencia angular \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} o como el periodo T_{teo} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}
2. Datos del libro: k = 1000 \ \text{N/m}. Sustitución: \omega = \sqrt{\frac{1000 \ \text{N/m}}{m}} Con m en kg, por ejemplo si m = 2 \ \text{kg} (dato de la página 103): \omega = \sqrt{\frac{1000}{2}} = \sqrt{500} \approx 22{,}4 \ \text{rad/s} T_{teo} = 2\pi\sqrt{\frac{2}{1000}} = 2\pi\sqrt{0{,}002} \approx 2\pi(0{,}0447) \approx 0{,}281 \ \text{s}
3. Se compara con el valor medido experimentalmente, T_{med}. El porcentaje de error es \%\text{error} = \left|\frac{T_{teo} - T_{med}}{T_{teo}}\right| \times 100\%
4. Criterio de corrección: si T_{med} \approx T_{teo} (error menor del 5–10 %), la constante teórica es correcta; si difiere notablemente, el amortiguador real tiene amortiguamiento viscoso (fricción interna y del aceite), que aumenta el periodo respecto del caso ideal, además de que la rigidez real puede no ser exactamente 1000 \ \text{N/m}.

1. La energía mecánica almacenada por el resorte en su posición de máxima elongación es E_{0} = \frac{1}{2}kA^{2}
2. El libro indica que la pérdida de energía del amortiguador es E_{perdida} = 20 \ \text{J} (por ciclo de oscilación).
3. El porcentaje de pérdida es el cociente entre la energía perdida y la energía total, multiplicado por 100: \%\text{pérdida} = \frac{E_{perdida}}{E_{0}} \times 100\% = \frac{20 \ \text{J}}{\tfrac{1}{2}kA^{2}} \times 100\%
4. Sustituyendo k = 1000 \ \text{N/m} y la amplitud A de la página 103, por ejemplo con A = 0{,}20 \ \text{m}: E_{0} = \frac{1}{2}(1000)(0{,}20)^{2} = 500 \times 0{,}04 = 20 \ \text{J} \%\text{pérdida} = \frac{20}{20} \times 100\% = 100\% Con A = 0{,}40 \ \text{m}: E_{0} = \frac{1}{2}(1000)(0{,}16) = 80 \ \text{J}, entonces \%\text{pérdida} = \frac{20}{80} \times 100\% = 25\%
5. Relación con la eficiencia energética: \eta = \dfrac{E_{útil}}{E_{total}}\times 100\%, y se cumple \eta + \%\text{pérdida} = 100\%.