Péndulo de reloj: determinación del período con abertura de 16°

Determinar el período del movimiento con abertura de 16^\circ.

1. Convertir la longitud a metros:

   L = 70\,\text{cm} \times \frac{1\,\text{m}}{100\,\text{cm}} = 0{,}70\,\text{m}

2. Convertir la masa a kilogramos (dato informativo): m = 500\,\text{g} = 0{,}50\,\text{kg}. La masa no aparece en la fórmula del período: para un péndulo de longitud dada, el período es independiente de la masa de la lenteja.

3. Para ángulos pequeños (menores que \approx 15^\circ) el péndulo es isócrono y se usa g = 9{,}8\,\text{m/s}^2:

   T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}70\,\text{m}}{9{,}8\,\text{m/s}^2}}

   \frac{L}{g} = \frac{0{,}70}{9{,}8} = 0{,}071428\,\text{s}^2

   \sqrt{0{,}071428\,\text{s}^2} = 0{,}26726\,\text{s}

   T_0 = 2\pi \times 0{,}26726\,\text{s} = 6{,}2832 \times 0{,}26726\,\text{s} = 1{,}6792\,\text{s}

   T_0 \approx 1{,}68\,\text{s}

4. Como la abertura es de 16^\circ (ligeramente mayor que el rango de ángulos pequeños), se aplica la corrección del péndulo circular, donde \theta_0 se expresa en radianes:

   T = T_0\left(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \cdots\right), \qquad \theta_0\,\text{en radianes}

   \theta_0 = 16^\circ \times \frac{\pi\,\text{rad}}{180^\circ} = 0{,}2793\,\text{rad}

   \theta_0^2 = (0{,}2793)^2 = 0{,}0780

   \frac{\theta_0^2}{16} = \frac{0{,}0780}{16} = 0{,}004876

   T = 1{,}6792\,\text{s} \times (1 + 0{,}004876) = 1{,}6792\,\text{s} \times 1{,}004876

   T = 1{,}6874\,\text{s} \approx 1{,}69\,\text{s}

   La corrección es inferior al 0{,}5\%, por lo que el resultado sin corregir (1{,}68\,\text{s}) es perfectamente válido en la práctica.

5. Magnitudes complementarias del mismo fenómeno:

   \omega = \sqrt{\frac{g}{L}} = \sqrt{\frac{9{,}8}{0{,}70}} = \sqrt{14} = 3{,}74\,\text{rad/s}

   f = \frac{1}{T} = \frac{1}{1{,}6874\,\text{s}} = 0{,}59\,\text{Hz} \approx 0{,}6\,\text{oscilaciones/s}

Nota: para que el reloj marque exacto debe ajustarse la longitud efectiva del péndulo, porque el fabricante estimará el daño a partir de la desviación observada respecto a T \approx 1{,}69\,\text{s}.