Fuerza eléctrica, campo, potencial y trabajo sobre la carga q₂

Contexto del ejercicio

Esta página continúa un ejercicio iniciado en la página anterior, en el que se ubica una carga fuente q_1 en un punto P_1(x_1,y_1) y se pide analizar lo que ocurre en el punto P_2(x_2,y_2) donde se encuentra la carga q_2. Los valores numéricos de q_1, q_2 y de las coordenadas se entregan en la página previa; por eso se resuelve de forma simbólica y general, sustituyendo después los datos de ese enunciado.

Se define la separación entre ambas cargas:

r=|\vec{r}_2-\vec{r}_1|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}

y el vector unitario de P_1 hacia P_2:

\hat{u}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|}

Enunciado: Determino la fuerza eléctrica sobre la carga q_2.

1. La fuerza que ejerce q_1 sobre q_2 obedece a la Ley de Coulomb: F=k\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2}, con k=8{,}99\times10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2.
2. Sustituyendo el valor de r obtenido con los datos del enunciado: F=k\dfrac{|q_1||q_2|}{\left(\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\right)^2}=k\dfrac{|q_1||q_2|}{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
3. En notación de vectores, la fuerza total sobre q_2 es:

\vec{F}_{12}=k\,\frac{q_1q_2\,(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^{3}}

4. Signo: si q_1 y q_2 tienen el mismo signo, la fuerza es de repulsión (el vector apunta desde P_1 hacia P_2); si tienen signos opuestos, es de atracción (el vector apunta desde P_2 hacia P_1).
5. Se descompone en componentes: F_x=k\dfrac{q_1q_2(x_2-x_1)}{r^3} y F_y=k\dfrac{q_1q_2(y_2-y_1)}{r^3}.

Enunciado: Establezco el vector intensidad de campo eléctrico sobre q_2.

1. El campo eléctrico que produce la carga q_1 en el punto P_2 es independiente de la carga que se ponga allí: se define como \vec{E}=\vec{F}/q_2.
2. Se divide la expresión vectorial de la fuerza por q_2:

\vec{E}_2=\frac{\vec{F}_{12}}{q_2}=k\,\frac{q_1(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^{3}}

3. Módulo: sustituyendo r:

E_2=k\frac{|q_1|}{r^2}=k\frac{|q_1|}{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\ \text{N/C}

4. Componentes: E_x=k\dfrac{q_1(x_2-x_1)}{r^3}, \;E_y=k\dfrac{q_1(y_2-y_1)}{r^3}.
5. Dirección y sentido: radial respecto de q_1; salen de q_1 si q_1>0 y entran en q_1 si q_1<0.

Enunciado: Determino el potencial eléctrico sobre q_2.

1. El potencial eléctrico creado por la carga puntual q_1 en el punto P_2 es una magnitud escalar:

V_2=k\frac{q_1}{r}

2. Sustituyendo la distancia entre las cargas:

V_2=\frac{q_1}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}

3. Es positivo si q_1>0 y negativo si q_1<0; no depende de la carga q_2 colocada en ese punto.
4. Unidades: V_2 se expresa en voltios (V), donde 1\ \text{V}=1\ \text{J}/\text{C}.

Enunciado: Determino el trabajo que se requiere para mover una carga de q=1\ \mu\text{C} desde el origen de coordenadas hasta el punto q_2.

1. El trabajo del agente externo para trasladar una carga q entre dos puntos es el cambio en su energía potencial eléctrica: W=q\,\Delta V=q\,(V_2-V_O).
2. El potencial en el origen O(0,0) producido por q_1 es, con r_O=\sqrt{x_1^2+y_1^2} la distancia desde q_1 hasta el origen:

V_O=k\frac{q_1}{r_O}=k\frac{q_1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}

3. Se sustituyen ambos potenciales en el trabajo, con q=1\ \mu\text{C}=1\times10^{-6}\ \text{C}:

W=\left(1\times10^{-6}\right)\left[k\frac{q_1}{r}-k\frac{q_1}{r_O}\right]

4. Factor común:

W=k\,q\,q_1\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_O}\right)=k\,q\,q_1\left(\frac{1}{\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}-\frac{1}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}\right)

5. Si el potencial en el origen se considera nulo (referencia), el trabajo queda simplemente W=qV_2=10^{-6}\,V_2.

Nota: para obtener el valor numérico de cada literal se deben tomar q_1, q_2 y las coordenadas de P_1 y P_2 del enunciado de la página anterior y sustituirlas en las expresiones anteriores.