Completa la tabla 4 con la aceleración (pendiente), la distancia recorrida (área), la posición y el tipo de movimiento de cada intervalo del gráfico velocidad-tiempo, a) t(0-4)s (dato), t(4-6)s, t(6-10)s, t(10-12)s, t(12-16)s, t(16-18)s y t(18-20)s.

a_1=1, a_2=0, a_3=-1,5, a_4=0, a_5=-1, a_6=0, a_7=2 m/s^2; A = 16, 12, 12, 0, -8, -8, -4 m; x_f = 20 i m

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Estudio de pendientes y áreas en un gráfico v-t de un vehículo

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Tabla 4: a₁=1 m/s² (16 m, x=16 î); a₂=0 (12 m, x=28 î); a₃=−1,5 m/s² (12 m, x=40 î); a₄=0 (0 m, x=40 î); a₅=−1 m/s² (−8 m, x=32 î); a₆=0 (−8 m, x=24 î); a₇=2 m/s² (−4 m, x=20 î). Posición final: 20 î (m).

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Solución — Página 13

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 13

a

Enunciado: Completo la tabla con base en el estudio de pendiente y áreas del Gráfico 1 (velocidad vs. tiempo de un auto), siguiendo el ejemplo dado para el intervalo $t_{(0-4)}$ s.

Datos leídos del gráfico:

$t=0$ s: $v_A = 2\;\text{m/s}$ (el ejemplo usa $v$ inicial $=2$ y $v$ final $=6$ )
$t=4$ s: $v_B = 6\;\text{m/s}$
$t=6$ s: $v_C = 6\;\text{m/s}$ (velocidad constante)
$t=10$ s: $v_D = 0\;\text{m/s}$
$t=12$ s: $v_E = 0\;\text{m/s}$ (vehículo detenido)
$t=16$ s: $v_F = -4\;\text{m/s}$
$t=18$ s: $v_G = -4\;\text{m/s}$
$t=20$ s: $v_H = 0\;\text{m/s}$ (el auto vuelve a detenerse; ver notas)

Recordemos las dos reglas clave:

$a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} \quad \text{(pendiente)}$

$\Delta x = \int v\,dt = \text{área bajo la curva} \quad \text{(con signo: negativa si } v < 0)$

La posición es la suma acumulada de las áreas, tomada con signo, porque el área bajo el eje $t$ representa desplazamiento en sentido negativo (retrógrado).

Intervalo 1: $t_{(0-4)}$ s (ejemplo dado)

$a_1 = \frac{(6-2)}{4-0} = \frac{4}{4} = 1\;\text{m/s}^{2}$

$A_1 = \left[\frac{(4\times 4)}{2}\right] + (4\times 2) = 8 + 8 = 16\;\text{m}$

(tresángulo de base 4 y altura $6-2=4$ , más un rectángulo de $4\;\text{s}\times 2\;\text{m/s}$ )

Posición: $\vec{x}_1 = 16\;\hat{i}\;\text{m}$ · Tipo: MRUV acelerado.

Intervalo 2: $t_{(4-6)}$ s (de B a C)

El gráfico es una recta horizontal: $v_B = v_C = 6\;\text{m/s}$ .
Pendiente: $a_2 = \frac{(6-6)}{6-4} = \frac{0}{2} = 0\;\text{m/s}^{2}$
Área (rectángulo de base 2 s y altura 6 m/s): $A_2 = 2\times 6 = 12\;\text{m}$
Posición acumulada: $\vec{x}_2 = (16 + 12)\;\hat{i} = 28\;\hat{i}\;\text{m}$

Intervalo 3: $t_{(6-10)}$ s (de C a D)

Datos: $v_i = 6\;\text{m/s}$ , $v_f = 0\;\text{m/s}$ , $\Delta t = 4\;\text{s}$ .
Pendiente: $a_3 = \frac{(0-6)}{10-6} = \frac{-6}{4} = -1{,}5\;\text{m/s}^{2}$
Área (triángulo de base 4 s y altura 6 m/s): $A_3 = \frac{(4\times 6)}{2} = 12\;\text{m}$
Posición acumulada: $\vec{x}_3 = (28 + 12)\;\hat{i} = 40\;\hat{i}\;\text{m}$

Respuesta: $a_3 = -1{,}5\;\text{m/s}^{2}$ ; $A_3 = 12\;\text{m}$ ; $\vec{x}_3 = 40\;\hat{i}\;\text{m}$ ; MRUV desacelerado (el auto frena hasta detenerse).

Intervalo 4: $t_{(10-12)}$ s (de D a E)

El gráfico se apoya sobre el eje $t$ : $v_D = v_E = 0\;\text{m/s}$ .
Pendiente: $a_4 = \frac{(0-0)}{12-10} = 0\;\text{m/s}^{2}$ .
Área: $A_4 = 2\times 0 = 0\;\text{m}$ .
Posición: $\vec{x}_4 = 40\;\hat{i}\;\text{m}$ (no cambia).

Respuesta: $a_4 = 0\;\text{m/s}^{2}$ ; $A_4 = 0\;\text{m}$ ; $\vec{x}_4 = 40\;\hat{i}\;\text{m}$ ; vehículo en reposo (MRU con $v = 0$ ).

Intervalo 5: $t_{(12-16)}$ s (de E a F)

Datos: $v_i = 0$ , $v_f = -4\;\text{m/s}$ , $\Delta t = 4\;\text{s}$ .
Pendiente: $a_5 = \frac{(-4-0)}{16-12} = \frac{-4}{4} = -1\;\text{m/s}^{2}$
Área bajo el eje $t$ (triángulo de base 4 s y altura $-4\;\text{m/s}$ ), con signo negativo: $A_5 = \frac{(4\times(-4))}{2} = -8\;\text{m}$
Posición acumulada: $\vec{x}_5 = (40 + (-8))\;\hat{i} = 32\;\hat{i}\;\text{m}$

Respuesta: $a_5 = -1\;\text{m/s}^{2}$ ; $A_5 = -8\;\text{m}$ ; $\vec{x}_5 = 32\;\hat{i}\;\text{m}$ ; MRUV acelerado en sentido negativo (retrocede acelerándose).

Intervalo 6: $t_{(16-18)}$ s (de F a G)

Recta horizontal en $v = -4\;\text{m/s}$ .
Pendiente: $a_6 = \frac{(-4+4)}{18-16} = 0\;\text{m/s}^{2}$ .
Área (rectángulo de base 2 s y altura $-4\;\text{m/s}$ ): $A_6 = 2\times(-4) = -8\;\text{m}$
Posición: $\vec{x}_6 = (32 - 8)\;\hat{i} = 24\;\hat{i}\;\text{m}$ .

Respuesta: $a_6 = 0\;\text{m/s}^{2}$ ; $A_6 = -8\;\text{m}$ ; $\vec{x}_6 = 24\;\hat{i}\;\text{m}$ ; MRU retrógrado (velocidad negativa constante).

Intervalo 7: $t_{(18-20)}$ s (de G a H)

Datos: $v_i = -4\;\text{m/s}$ , $v_f = 0\;\text{m/s}$ , $\Delta t = 2\;\text{s}$ .
Pendiente: $a_7 = \frac{(0-(-4))}{20-18} = \frac{4}{2} = 2\;\text{m/s}^{2}$
Área (triángulo de base 2 s y altura $-4\;\text{m/s}$ ): $A_7 = \frac{(2\times(-4))}{2} = -4\;\text{m}$
Posición final: $\vec{x}_7 = (24 + (-4))\;\hat{i} = 20\;\hat{i}\;\text{m}$

Respuesta: $a_7 = +2\;\text{m/s}^{2}$ ; $A_7 = -4\;\text{m}$ ; $\vec{x}_7 = 20\;\hat{i}\;\text{m}$ ; MRUV desacelerado en sentido negativo (frena mientras retrocede hasta detenerse).

Tabla 4 completa

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
$t_{(0-4)}$ s	$a_1=\dfrac{(6-2)}{4-0}=1\;\text{m/s}^{2}$	$A_1=\left[\dfrac{(4\times4)}{2}\right]+(4\times2)=16\;\text{m}$	$16\;\hat{i}\;(\text{m})$	MRUV (acelerado)
$t_{(4-6)}$ s	$a_2=\dfrac{(6-6)}{6-4}=0\;\text{m/s}^{2}$	$A_2=(2\times6)=12\;\text{m}$	$28\;\hat{i}\;(\text{m})$	MRU (uniforme)
$t_{(6-10)}$ s	$a_3=\dfrac{(0-6)}{10-6}=-1{,}5\;\text{m/s}^{2}$	$A_3=\left[\dfrac{(4\times6)}{2}\right]=12\;\text{m}$	$40\;\hat{i}\;(\text{m})$	MRUV (desacelerado/frenado)
$t_{(10-12)}$ s	$a_4=\dfrac{(0-0)}{12-10}=0\;\text{m/s}^{2}$	$A_4=(2\times0)=0\;\text{m}$	$40\;\hat{i}\;(\text{m})$	En reposo ( $v=0$ )
$t_{(12-16)}$ s	$a_5=\dfrac{(-4-0)}{16-12}=-1\;\text{m/s}^{2}$	$A_5=\left[\dfrac{(4\times(-4))}{2}\right]=-8\;\text{m}$	$32\;\hat{i}\;(\text{m})$	MRUV acelerado (sentido negativo)
$t_{(16-18)}$ s	$a_6=\dfrac{(-4+4)}{18-16}=0\;\text{m/s}^{2}$	$A_6=(2\times(-4))=-8\;\text{m}$	$24\;\hat{i}\;(\text{m})$	MRU retrógrado
$t_{(18-20)}$ s	$a_7=\dfrac{(0-(-4))}{20-18}=2\;\text{m/s}^{2}$	$A_7=\left[\dfrac{(2\times(-4))}{2}\right]=-4\;\text{m}$	$20\;\hat{i}\;(\text{m})$	MRUV desacelerado (frena al retroceder)

Comprobación global

Suma de áreas (desplazamiento total):

$\Delta x_{total} = 16 + 12 + 12 + 0 + (-8) + (-8) + (-4) = 20\;\text{m}$

Coincide con la posición final $\vec{x}_f = 20\;\hat{i}\;\text{m}$ : el auto recorre 20 m en el sentido positivo dentro del intervalo $0-20$ s, aunque durante $12-20$ s retrocede.

Respuesta

$a_2 = 0\;\text{m/s}^{2}$ ; $A_2 = 12\;\text{m}$ ; $\vec{x}_2 = 28\;\hat{i}\;\text{m}$ ; MRUV (uniforme, velocidad constante).

Contenido de la página

Gráfico 1: reporte de scanner vehicular

Gráfico de velocidad (en m/s) vs. tiempo (en s) de un vehículo, con los puntos A, B, C, D, E, F, G y H.

Datos del gráfico:

Punto	t (s)	v (m/s)
A	0	2
B	4	6
C	6	6
D	10	0
E	12	0
F	16	−4
G	18	−4
H	20	0

a) Completo la tabla con base en el estudio de pendiente y áreas del gráfico 1.

Tabla 4: estudio de pendiente y áreas

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
t(0-4)s	a₁ = (6−2)/(4−0) = 1 m/s²	A₁ = [(44)/2] + (42) = 16 m	16 î (m)	MRUV (acelerado)

(Se completan los intervalos t(4-6), t(6-10), t(10-12), t(12-16), t(16-18) y t(18-20) siguiendo el mismo método.)

Reglas: la pendiente del gráfico v-t da la aceleración; el área bajo la curva da el desplazamiento, con signo negativo si la velocidad es negativa. La posición es la suma acumulada de las áreas.

Fuente del gráfico: https://n9.cl/eji1k

Ejemplos resueltos

Caso del ejemplo: intervalo t(0-4)s, en el que la velocidad pasa de 2 m/s a 6 m/s.

Aceleración: a₁ = (6−2)/(4−0) = 4/4 = 1 m/s². Área: triángulo [(44)/2] = 8 m más rectángulo (42) = 8 m, total A₁ = 16 m. Posición: x₁ = 16 î (m). Tipo: MRUV acelerado.

Tabla

INTERVALO	ACELERACIÓN (PENDIENTE)	DISTANCIA RECORRIDA (ÁREA)	POSICIÓN	TIPO DE MOVIMIENTO
t(0-4)s	a₁=1 m/s²	A₁=16 m	16 î (m)	MRUV acelerado
t(4-6)s	a₂=0 m/s²	A₂=12 m	28 î (m)	MRU uniforme
t(6-10)s	a₃=−1,5 m/s²	A₃=12 m	40 î (m)	MRUV desacelerado
t(10-12)s	a₄=0 m/s²	A₄=0 m	40 î (m)	En reposo
t(12-16)s	a₅=−1 m/s²	A₅=−8 m	32 î (m)	MRUV acelerado (sentido negativo)
t(16-18)s	a₆=0 m/s²	A₆=−8 m	24 î (m)	MRU retrógrado
t(18-20)s	a₇=2 m/s²	A₇=−4 m	20 î (m)	MRUV desacelerado

Diagrama

timeline
    title Recorrido del vehículo según el gráfico v-t (0-20 s)
    section 0-6 s : avanza en sentido positivo (v > 0)
    t=0-4 : acelerando (a = 1 m/s², v: 2→6 m/s)
    t=4-6 : velocidad constante 6 m/s (a = 0)
    section 6-12 s : frena y se detiene
    t=6-10 : decelera hasta detenerse (a = −1,5 m/s²)
    t=10-12 : en reposo (v = 0)
    section 12-20 s : retrocede en sentido negativo
    t=12-16 : acelerándose en sentido negativo (v: 0→−4 m/s)
    t=16-18 : retrocede con v = −4 m/s
    t=18-20 : frena hasta detenerse (v: −4→0 m/s)

Fórmulas y ecuaciones

a = $(v_f$ - $v_i)/(t_f$ - $t_i)$

Área bajo la curva v-t = desplazamiento

$x_{n+1}$ = $x_n$ + $A_{n+1}$

a = $\frac{\Delta v}{\Delta t}$ = $\frac{v_f - v_i}{t_f - t_i}$

$\Delta$ x = $\int_{t_i}^{t_f}$ $v\,dt$ = $\text{área bajo la curva }$ v(t)

$A_{$ $\text{triángulo}$ } = $\frac{b \cdot h}{2}$

$A_{$ $\text{rectángulo}$ } = b $\cdot$ h

Glosario (6)

Aceleración: Varación de la velocidad respecto al tiempo; en un gráfico v-t es la pendiente de la curva.
Desplazamiento: Cambio de posición de un cuerpo; en un gráfico v-t es el área bajo la curva, con su signo.
MRUV: Movimiento rectilíneo uniformemente variado: aceleración constante (recta inclinada en el gráfico v-t).
MRU: Movimiento rectilíneo uniforme: velocidad constante (recta horizontal en el gráfico v-t).
Velocidad negativa: Indica que el cuerpo se mueve en el sentido contrario al elegido como positivo (retrocede).
Pendiente: Relación Δy/Δx de una recta; en un gráfico v-t representa la aceleración.

Temas y conceptos clave

CinemáticaGráficos velocidad-tiempoAceleración y área bajo la curvapendiente = aceleraciónárea = desplazamientoMRU y MRUVsentido negativo de la velocidadposición acumuladavelocidad nula (reposo)

Fuentes y referencias

https://n9.cl/eji1k

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📌 Antes de leer esto

• Lectura de gráficos de ejes cartesianos (velocidad vs. tiempo)
• Cálculo de pendiente de una recta (Δy/Δx)
• Cálculo de área de triángulo y rectángulo
• Signo convencional de la velocidad y la aceleración (sentido positivo/negativo)