Movimiento del vehículo de Batman en gráficas x-t, v-t y a-t y problema de transporte

Describir de forma ingeniosa el movimiento del vehículo de Batman a partir de las gráficas de posición x(t), velocidad v(t) y aceleración a(t).

1. Segmento 1: 0 \le t < 5 \, \text{s} (arranque). En la gráfica v-t la velocidad crece linealmente desde 0 hasta 6 \, \text{m/s}, lo que indica aceleración uniforme. En la gráfica a-t se lee a = 1,2 \, \text{m/s}^{2}, verificado por:

a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{6-0}{5-0} = 1,2 \, \text{m/s}^{2}

La posición es x = \tfrac{1}{2} a t^{2}, una parábola cóncava hacia arriba, y a t = 5 \, \text{s}:

x(5) = \frac{1}{2}(1,2)(5)^{2} = 15 \, \text{m}

que coincide con el valor marcado 15 \, \text{m} en la gráfica x-t.

2. Segmento 2: 5 \le t < 15 \, \text{s} (velocidad constante). La velocidad se mantiene en v = 6 \, \text{m/s}, por lo que a = 0 (segmento horizontal en a = 0). La posición varía linealmente: x = 15 + 6(t-5). A t = 15 \, \text{s}:

x(15) = 15 + 6(15-5) = 15 + 60 = 75 \, \text{m}

igual al valor 75 \, \text{m} marcado en la gráfica x-t.

3. Segmento 3: t \ge 15 \, \text{s} (frenado). La velocidad cae linealmente de 6 a 0 \, \text{m/s} con aceleración negativa a = -0,72 \, \text{m/s}^{2} (tramo por debajo del eje en la gráfica a-t). El tiempo de frenado es:

\Delta t = \frac{\Delta v}{a} = \frac{0-6}{-0,72} = 8,33 \, \text{s}

Es decir, el vehículo se detiene en t_f = 15 + 8,33 \approx 23,3 \, \text{s}. La posición describe una parábola cóncava hacia abajo y alcanza:

x_f = 75 + \frac{1}{2}(6)(8,33) = 75 + 25 = 100 \, \text{m}

coincidiendo con el valor máximo 100 \, \text{m} de la gráfica x-t.

4. Comprobación global. El área bajo la curva v-t da el desplazamiento total:

x = \underbrace{\frac{1}{2}(5)(6)}_{15} + \underbrace{(15-5)(6)}_{60} + \underbrace{\frac{1}{2}(8,33)(6)}_{25} = 100 \, \text{m}

5. Descripción ingeniosa (resumen narrativo). El Batmóvil arranca desde el reposo con aceleración constante de 1,2 \, \text{m/s}^{2} durante 5 s, logrando 6 \, \text{m/s}; luego "cruza veloz y parejo" a esa velocidad durante 10 s (aceleración cero), recorriendo 60 m; finalmente frena suavemente con -0,72 \, \text{m/s}^{2} durante unos 8,3 s hasta detenerse a los 100 m del punto de partida, en un viaje total de unos 23,3 s.

\bar{v} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{100}{23,3} \approx 4,3 \, \text{m/s}

Un trabajador del almacén del centro comercial 1 debe transportar un paquete al centro comercial 2, donde un pariente del cliente lo retirará en aproximadamente 35 minutos; formular la propuesta de solución (plan de transporte).

1. Identificar los datos del problema: tiempo límite disponible t = 35 \, \text{min} = 35 \times 60 = 2100 \, \text{s}, y el objetivo de entregar el paquete antes de ese instante.
2. El problema no entrega la distancia d entre los dos almacenes, por lo que la magnitud a calcular es la velocidad media mínima requerida:

\bar{v} = \frac{d}{t} = \frac{d}{35 \, \text{min}}

3. Ejemplo: si los centros comerciales están separados por d = 7 \, \text{km} = 7000 \, \text{m}:

\bar{v} = \frac{7000 \, \text{m}}{2100 \, \text{s}} \approx 3,33 \, \text{m/s} \approx 12 \, \text{km/h}

4. Como siempre hay tránsito y esperas, se debe planificar un margen de seguridad: se recomienda cubrir el trayecto en unos 25 min, dejando 10 min de reserva. Para 7 km en 25 min = 1500 s se necesitaría:

\bar{v} = \frac{7000}{1500} \approx 4,67 \, \text{m/s} \approx 16{,}8 \, \text{km/h}

5. Propuesta de plan: (i) medir la distancia entre almacenes; (ii) calcular la velocidad media mínima con \bar{v} = d/t; (iii) elegir la ruta más corta y en horario de menor tráfico; (iv) verificar que el vehículo pueda sostener esa velocidad; (v) enviar confirmación al cliente al llegar al centro comercial 2 antes del tiempo acordado.

Respuesta orientativa: Conviene calcular la velocidad media mínima \bar{v} = d/35\,\text{min}, planear el trayecto más corto con un margen de 10 minutos y avisar al cliente una vez entregado el paquete en el centro comercial 2.