Ejercicio a
Cuadro de Verdadero o Falso
Completo el cuadro con una (V) si la afirmación es verdadera o una (F) si es falsa, con base en la figura: un cuerpo de masa m es empujado hacia arriba por una rampa inclinada de longitud d y ángulo \theta, alcanzando una altura final h = d\,\sin\theta. La rampa es lisa (sin rozamiento).
| SITUACIÓN | V O F | JUSTIFICACIÓN |
|---|---|---|
| La única fuerza que realiza trabajo positivo es la del empuje. | V | El trabajo es W = F\,d\,\cos\alpha, con \alpha el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento. En el empuje, \alpha = 0^\circ y W_{\text{emp}} = F\,d > 0. En la fuerza normal, \alpha = 90^\circ y W_N = N\,d\,\cos 90^\circ = 0. En el peso, el ángulo es mayor que 90^\circ respecto al desplazamiento hacia arriba, así que W_p = -mgh < 0. Por lo tanto, solo el empuje aporta trabajo positivo. |
| La fuerza realiza un trabajo nulo. | V | La fuerza (la normal N) es perpendicular a la superficie de la rampa, es decir, perpendicular al desplazamiento. Como \alpha = 90^\circ: W_N = N\,d\,\cos 90^\circ = N\,d\cdot 0 = 0. |
| El peso realiza un trabajo nulo. | F | El peso tiene componente mg\,\sin\theta a favor del descenso, paralela y opuesta al desplazamiento. Entonces W_p = (mg\,\sin\theta)\,d\,\cos 180^\circ = -mg\,d\,\sin\theta = -mgh \neq 0: el peso realiza trabajo negativo. |
| Si la velocidad con la que sube es constante, entonces la variación de la energía cinética es nula. | V | E_c = \tfrac{1}{2}mv^{2}. Si v_f = v_i = v, entonces \Delta E_c = \tfrac{1}{2}mv_f^{2} - \tfrac{1}{2}mv_i^{2} = \tfrac{1}{2}mv^{2} - \tfrac{1}{2}mv^{2} = 0. |
| Considerando a la rampa como una superficie lisa, la energía mecánica al final de la rampa es equivalente a la energía potencial gravitatoria. | F | En una rampa lisa se conserva la energía mecánica: E_{m,i} = E_{m,f}. Pero al final de la rampa el cuerpo aún se mueve con v_f > 0, de modo que E_{m,f} = E_{p,f} + E_{c,f} = mgh + \tfrac{1}{2}mv_f^{2} > mgh = E_{p,f}. La energía mecánica equivale a la energía potencial solo si el cuerpo llega al borde superior deteniéndose (v_f = 0). |
Verificación numérica (ejemplo ilustrativo)
Supongamos m = 2\,\text{kg}, d = 5\,\text{m}, \theta = 30^\circ, F = 15\,\text{N}, g = 9{,}8\,\text{m/s}^{2}.
- Altura alcanzada: h = d\,\sin\theta = 5 \times \sin 30^\circ = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5\,\text{m}.
- Trabajo del empuje: W_{\text{emp}} = F\,d = 15 \times 5 = 75\,\text{J} > 0 (positivo, \Rightarrow fila 1: V).
- Trabajo de la normal: W_N = N\,d\,\cos 90^\circ = 0\,\text{J} (nulo, \Rightarrow fila 2: V).
- Trabajo del peso: W_p = -mgh = -2 \times 9{,}8 \times 2{,}5 = -49\,\text{J} \neq 0 (no nulo, \Rightarrow fila 3: F).
- Comprobación con la conservación de la energía: W_{\text{tot}} = W_{\text{emp}} + W_N + W_p = 75 + 0 - 49 = 26\,\text{J} = \Delta E_c. Como el cuerpo sube con velocidad constante, \Delta E_c = 0; en esa situación idealizada el empuje sería W_{\text{emp}} = 49\,\text{J}, es decir F = 49/5 = 9{,}8\,\text{N}, igual a la componente mg\,\sin\theta = 9{,}8\,\text{N}.
- Si al llegar arriba se detuviera, E_{m,f} = E_{p,f} = 2 \times 9{,}8 \times 2{,}5 = 49\,\text{J}; pero viajando a v_f = 2\,\text{m/s}, E_{m,f} = 49 + \tfrac{1}{2}(2)(2)^2 = 53\,\text{J} > 49\,\text{J}, lo que confirma la fila 5: F.
Respuesta
V, V, F, V, F.
