Ley de la gravitación: masa del Sol y fuerzas sobre una esfera de billar

Determinar la masa del Sol sabiendo que la Tierra describe una órbita circular de radio r = 150 millones de km con período T = 365 días.

1. Los datos se convierten a unidades del SI: radio r = 150\times10^{6}\,\text{km} = 1,5\times10^{11}\,\text{m} y período T = 365\times24\times3600\,\text{s} = 3,1536\times10^{7}\,\text{s}.
2. La fuerza gravitatoria del Sol sobre la Tierra, F = \dfrac{G\,M_{\text{Sol}}\,m_{\text{Tierra}}}{r^{2}}, se equilibra con la fuerza centrípeta, F = m_{\text{Tierra}}\,\dfrac{v^{2}}{r}, con v = \dfrac{2\pi r}{T}.
3. Igualando: \dfrac{G\,M_{\text{Sol}}}{r^{2}} = \dfrac{4\pi^{2} r}{T^{2}}, de donde se despeja M_{\text{Sol}} = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{G\,T^{2}}
4. Se calculan los componentes: r^{3} = (1,5\times10^{11})^{3} = 3,375\times10^{33}\,\text{m}^{3} y T^{2} = (3,1536\times10^{7})^{2} = 9,945\times10^{14}\,\text{s}^{2}.
5. Sustituyendo con G = 6,67\times10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}: M_{\text{Sol}} = \frac{4\pi^{2}(3,375\times10^{33})}{(6,67\times10^{-11})(9,945\times10^{14})} = \frac{1,332\times10^{35}}{6,63\times10^{4}}
6. El resultado es M_{\text{Sol}} \approx 2,0\times10^{30}\,\text{kg}.

Tres esferas de billar de masa m_{1} = m_{2} = m_{3} = 250\,\text{g} se ubican en los vértices de un triángulo rectángulo de catetos a = 40\,\text{cm}, b = 30\,\text{cm} e hipotenusa c = 50\,\text{cm}. Se pide calcular las fuerzas gravitatorias y su resultante sobre m_{1}.

1. Se convierten las masas y longitudes: m = 0,25\,\text{kg}; a = 0,4\,\text{m}; b = 0,3\,\text{m}; c = 0,5\,\text{m}.
2. Fuerza de m_{2} sobre m_{1} (a lo largo del cateto b): F_{11} = \frac{G\,m_{1}m_{2}}{b^{2}} = \frac{(6,67\times10^{-11})(0,25)(0,25)}{(0,3)^{2}} = \frac{4,169\times10^{-12}}{0,09} = 4,63\times10^{-11}\,\text{N}
3. Fuerza de m_{3} sobre m_{1} (a lo largo del cateto a): F_{13} = \frac{G\,m_{1}m_{3}}{a^{2}} = \frac{4,169\times10^{-12}}{(0,4)^{2}} = \frac{4,169\times10^{-12}}{0,16} = 2,61\times10^{-11}\,\text{N}
4. Como ambas fuerzas son perpendiculares, la resultante F_{12} es: F_{12} = \sqrt{F_{11}^{2}+F_{13}^{2}} = \sqrt{(4,63\times10^{-11})^{2}+(2,61\times10^{-11})^{2}} = 1,68\times10^{-11}\,\text{N}
5. El ángulo que forma con el eje horizontal (cateto b) es \theta = \arctan\!\left(\frac{F_{13}}{F_{11}}\right) = \arctan\!\left(\frac{2,61\times10^{-11}}{4,63\times10^{-11}}\right) = \arctan(0,562) = 29,4^{\circ}
6. Como control, la fuerza de m_{1} sobre m_{3} a lo largo de la hipotenusa es F = \dfrac{G\,m_{1}m_{3}}{c^{2}} = \dfrac{4,169\times10^{-12}}{0,25} = 1,67\times10^{-11}\,\text{N}.