Actividades TEMA 16: Ejercicio 2 - Velocidad de escape: explicación, deducción de fórmula y valores de M y R terrestres

Ejercicio 2: Velocidad de escape

a) Explico con mis palabras ¿en qué consiste la velocidad de escape?

[Espacio para respuesta: La velocidad de escape es la velocidad mínima con la que un cuerpo debe ser lanzado desde la superficie de un astro (como la Tierra) para que pueda alejarse indefinidamente sin volver a caer, llegando al infinito con velocidad nula. No depende de la masa del objeto lanzado, solo de la masa y radio del astro.]

b) Mediante la tercera ley de Kepler y la fuerza gravitatoria, demuestro la ecuación de la velocidad de escape v_e = \sqrt{\dfrac{2GM}{r}}. Tomo en cuenta que la fuerza centrípeta es equivalente a la fuerza gravitacional.

[Espacio para deducción: Método por conservación de energía: \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{GMm}{r} \Rightarrow v_e^2 = \frac{2GM}{r} \Rightarrow v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}

*Método por F_c=F_g para órbita circular, luego considerar v_escape=√2·v_orbital:* \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2} \Rightarrow v_{orbital} = \sqrt{\frac{GM}{r}} \Rightarrow v_{escape} = \sqrt{2} \cdot v_{orbital} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}]*

c) Investigo ¿cuál es el valor de la masa terrestre y del radio terrestre?

[Espacio para respuesta: M_Tierra ≈ 5.97×10²⁴ kg; R_Tierra ≈ 6.37×10⁶ m → v_e=√(2×6.67×10⁻¹¹×5.97×10²⁴/6.37×10⁶) ≈ 11,186 m/s ≈ 11.2 km/s]