Velocidad de escape: explicación, demostración de su fórmula y datos terrestres

Explico con mis palabras: ¿en qué consiste la velocidad de escape?

La velocidad de escape es la velocidad mínima inicial que debe adquirir un cuerpo lanzado desde la superficie de un astro para poder abandonar definitivamente su campo gravitatorio, sin caer de nuevo y sin necesidad de una fuerza adicional una vez en el espacio. En otras palabras, es la "velocidad límite" con la que un cohete, un satélite o cualquier objeto debe ser impulsado para que su energía mecánica total sea lo suficientemente grande como que, incluso con velocidades que se van reduciendo conforme se aleja del astro, nunca llegue a cero ni se invierta el sentido del movimiento. Un objeto que tenga exactamente esa velocidad llega "a distancia infinita" con velocidad nula; uno que la supere sigue alejándose con remanente de velocidad.

Demuestro la ecuación de la velocidad de escape v=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}} a partir de la tercera ley de Kepler y de la fuerza gravitatoria, considerando que la fuerza centrípeta es equivalente a la fuerza gravitatoria.

Paso 1: Fuerza gravitatoria que actúa sobre un cuerpo de masa m situado a una distancia r del centro de un astro de masa M (Ley de Gravitación Universal de Newton):

F_g=\frac{GMm}{r^{2}}

Paso 2: Fuerza centrípeta necesaria para que el cuerpo describa una órbita circular de radio r y velocidad v:

F_c=\frac{mv^{2}}{r}

Paso 3: Según la indicación, ambas fuerzas son equivalentes; igualamos:

\frac{mv^{2}}{r}=\frac{GMm}{r^{2}}

Paso 4: Simplificamos la masa m (presente en ambos términos) y un factor r:

v^{2}=\frac{GM}{r}\quad\Longrightarrow\quad v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Esta velocidad es la de la órbita circular de radio r (primera velocidad cósmica). En el caso de la Tierra da \approx 7{,}9\,\text{km/s}.

Paso 5: Relación con la tercera ley de Kepler. Dicha ley establece que T^{2}\propto r^{3}; su forma explícita es

T^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\,r^{3}

Pero para una órbita circular, la velocidad es v=\dfrac{2\pi r}{T}, es decir T=\dfrac{2\pi r}{v}. Sustituyendo:

\left(\frac{2\pi r}{v}\right)^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}r^{3}

\frac{4\pi^{2}r^{2}}{v^{2}}=\frac{4\pi^{2}r^{3}}{GM}

Cancelando 4\pi^{2}r^{2}:

\frac{1}{v^{2}}=\frac{r}{GM}\quad\Longrightarrow\quad v^{2}=\frac{GM}{r}\quad\Longrightarrow\quad v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

Se confirma, por otra vía, el mismo resultado del Paso 4.

Paso 6: De la órbita a la velocidad de escape. Para escapar, el cuerpo debe llegar "a distancia infinita" (r\to\infty) con velocidad nula y, por tanto, con energía potencial gravitatoria cero. Se aplica la conservación de la energía mecánica (la gravedad es una fuerza conservadora), tomando como referencia de energía potencial nula el infinito:

E_{\text{inicial}}=\frac{1}{2}mv_{e}^{2}-\frac{GMm}{r}

E_{\text{final}}=\frac{1}{2}m(0)^{2}-\frac{GMm}{\infty}=0

Igualando E_{\text{inicial}}=E_{\text{final}}:

\frac{1}{2}mv_{e}^{2}-\frac{GMm}{r}=0

Paso 7: Despejamos v_{e}. La masa m se cancela (por eso la velocidad de escape no depende de la masa del objeto que escapa):

\frac{1}{2}v_{e}^{2}=\frac{GM}{r}

v_{e}^{2}=\frac{2GM}{r}

\boxed{v_{e}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}}

Paso 8: Conexión entre ambos resultados:

v_{e}=\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{GM}{r}}=\sqrt{2}\,v_{\text{orb}}\approx 1{,}414\,v_{\text{orb}}

Investigo: ¿cuál es el valor de la masa terrestre y del radio terrestre?

Paso 1: Valores aceptados por la Unión Astronómica Internacional (IUGG), medidos con satélites y con la constante gravitacional G:

M_{\oplus}=5{,}972\times10^{24}\,\text{kg}\qquad (\text{aprox. }6\times10^{24}\,\text{kg})

R_{\oplus}=6{,}371\times10^{6}\,\text{m}=6371\,\text{km}\qquad (\text{aprox. }6{,}4\times10^{6}\,\text{m})

Paso 2: Verificación con la constante de gravitación universal G=6{,}674\times10^{-11}\,\text{N·m}^{2}/\text{kg}^{2}:

2GM=2\,(6{,}674\times10^{-11})(5{,}972\times10^{24})=7{,}97\times10^{14}\,\text{m}^{3}/\text{s}^{2}

\frac{2GM}{R}=\frac{7{,}97\times10^{14}}{6{,}371\times10^{6}}=1{,}25\times10^{8}\,\text{m}^{2}/\text{s}^{2}

v_{e}=\sqrt{1{,}25\times10^{8}}=1{,}12\times10^{4}\,\text{m/s}\approx 11{,}2\,\text{km/s}

Paso 3: Comprobación cruzada con el acelerómetro gravitatorio terrestre:

g=\frac{GM}{R^{2}}=\frac{(6{,}674\times10^{-11})(5{,}972\times10^{24})}{(6{,}371\times10^{6})^{2}}\approx 9{,}81\,\text{m/s}^{2}