**b)** Si una porción de masa terrestre del interior de la Tierra tiene una densidad de 2,75 × 10^3 kg/m^3, argumenta que la densidad en el interior de la Tierra es mucho mayor que el valor promedio de la superficie terrestre.

_interior > _superficie ≈ 2,7 × 10^3 kg/m^3

**b)** Si en la Tierra estamos en el siglo XXI, ¿cuántos siglos habrán pasado en Marte, tomando en cuenta el año marciano?

≈ 1,9 siglos marcianos por siglo terrestre

**c)** Con base en los 191 días del año marciano, elaborar de manera creativa un calendario anual sabiendo que los meses tienen 30 días.

6 × 30 + 11 = 191 días (7 meses marcianos)

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Densidad de la Tierra y año marciano con la tercera ley de Kepler

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

3.b: La muestra interior ( $2,75 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ) iguala o supera el promedio superficial ( $\approx 2,7 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ) y la presión comprime el material, por eso el interior es más denso. 4.a: $T_{M} \approx 191$ días. 4.b: $\approx 1,9$ siglos marcianos por cada siglo terrestre. 4.c: 6 meses de 30 días + 1 mes de 11 días.

📚 exercise fisica ⭐⭐⭐ Dificultad 3/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 214

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 3

(literal b)

Enunciado: Si una porción de masa terrestre tomada en el interior de la Tierra tiene una densidad de $2,75 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ , argumentar que la densidad en el interior de la Tierra es mucho mayor que el valor promedio de la superficie terrestre.

La densidad se define como $\rho = \frac{m}{V}$ : para una masa dada, un menor volumen implica mayor densidad.
Las rocas de la superficie (corteza continental y oceánica) tienen densidades entre $2,6 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ (granito) y $3,0 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ (basalto), de modo que el promedio superficial es del orden de $\rho_{\text{superficie}} \approx 2,7 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ .
La muestra tomada en el interior ya posee $\rho = 2,75 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ , es decir, igual o superior a ese promedio superficial; además, la tendencia es creciente: al aumentar la profundidad crece la presión (peso de todas las capas superiores) y esta comprime el material, reduciendo su volumen. Como la masa no cambia y $V$ disminuye, $\rho = \frac{m}{V}$ aumenta.
Comprobación con la densidad media de la Tierra completa. Tendremos $M = 5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}$ y $R = 6,37 \times 10^{6} \, \text{m}$ :

$V = \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \cdot 3,14 \cdot (6,37 \times 10^{6})^{3} = 1,08 \times 10^{21} \, \text{m}^{3}$

$\rho_{\text{Tierra}} = \frac{M}{V} = \frac{5,97 \times 10^{24} \, \text{kg}}{1,08 \times 10^{21} \, \text{m}^{3}} = 5,53 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$

Como $\rho_{\text{Tierra}} = 5,53 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ es casi el doble de $\rho_{\text{superficie}} \approx 2,7 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ , el promedio sólo puede ser tan alto si el interior está formado por materiales mucho más densos que las rocas superficiales (núcleo de hierro y níquel, con $\rho \approx 13 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ).

Respuesta

La muestra del interior ( $2,75 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ) ya iguala o supera el promedio superficial ( $\approx 2,7 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ), y la presión que aumenta con la profundidad comprime el material ( $\rho = m/V$ con $V$ menor); además, la densidad media de la Tierra ( $5,53 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ) es casi el doble de la superficial, lo que exige un interior mucho más denso.

Ejercicio 4

Enunciado: Se conoce que el radio de órbita de Marte es aproximadamente $0,65$ veces el de la Tierra.

Parte 4.a

Enunciado: Mediante las leyes de Kepler, indicar cuántos días tiene un año en Marte.

La tercera ley de Kepler establece que el cuadrado del período orbital es proporcional al cubo del semieje mayor (radio de órbita):

$\frac{T^{2}}{a^{3}} = \text{constante}$

Por tanto, al comparar Marte (M) con la Tierra (T):

$\frac{T_{M}^{2}}{T_{T}^{2}} = \frac{a_{M}^{3}}{a_{T}^{3}} \quad \Longrightarrow \quad T_{M} = T_{T} \cdot \left(\frac{a_{M}}{a_{T}}\right)^{3/2}$

Sustitución con $T_{T} = 365,25 \, \text{días}$ y $\frac{a_{M}}{a_{T}} = 0,65$ :

$\left(0,65\right)^{3/2} = 0,65 \cdot \sqrt{0,65} = 0,65 \cdot 0,8062 = 0,5240$

$T_{M} = 365,25 \cdot 0,5240 = 191,4 \, \text{días}$

Respuesta

Un año marciano dura aproximadamente 191 días terrestres (según la ley de Kepler con el radio indicado). Nota: en la realidad un año marciano vale 687 días terrestres, porque el radio orbital real de Marte es 1,52 veces el terrestre; el valor de 0,65 es una simplificación del ejercicio.

Parte 4.b

Enunciado: Si en la Tierra nos encontramos en el siglo XXI, señalar cuántos siglos habrán pasado en Marte, tomando en cuenta el año marciano.

Duración de un siglo terrestre:

$100 \, \text{años terrestres} \times 365,25 \, \text{días/año} = 36\,525 \, \text{días terrestres}$

Número de años marcianos transcurridos en ese tiempo:

$n = \frac{36\,525 \, \text{días terrestres}}{191,4 \, \text{días por año marciano}} = 190,8 \, \text{años marcianos}$

En siglos marcianos (siglo = 100 años):

$190,8 \, \text{años marcianos} = \frac{190,8}{100} = 1,9 \, \text{siglos marcianos}$

Interpretación: como el año marciano es más corto que el terrestre, Marte "avanza" en el tiempo más rápido; por cada siglo terrestre que pasa, en Marte se cumplen unos 191 años, es decir, casi 2 siglos marcianos. Si usamos el valor real de 687 días, serían $36\,525/687 \approx 53$ años marcianos (unos 0,53 siglos marcianos).

Respuesta

En un siglo terrestre (36 525 días) transcurren unos 191 años marcianos, es decir, aproximadamente 1,9 (casi 2) siglos marcianos.

Parte 4.c

Enunciado: Con base en el número de días del año en Marte, elaborar de manera creativa un calendario anual, tomando en cuenta que los meses tienen 30 días.

Duración del año marciano: $T_{M} = 191 \, \text{días}$ .
Número de meses completos de 30 días:

$n_{\text{meses}} = \frac{191}{30} = 6 \, \text{meses completos} = 6 \times 30 = 180 \, \text{días}$

Días restantes:

$191 - 180 = 11 \, \text{días}$

Calendario propuesto (7 meses: 6 de 30 días y un mes corto de 11 días):

Mes marciano	Duración (días)	Acumulado
M-1 (Solen)	30	30
M-2 (Dius)	30	60
M-3 (Solmon)	30	90
M-4 (Termon)	30	120
M-5 (Quintus)	30	150
M-6 (Sextus)	30	180
M-7 (Undécimo, mes corto)	11	191
Total	191

Alternativa creativa: 6 meses de 30 días (180) + una "semana marciana" de 7 días + 4 días de fiesta de fin de año = $180 + 7 + 4 = 191$ días. Con el valor real de 687 días: $687 = 22 \times 30 + 27$ , es decir, 23 meses (22 de 30 días y uno de 27).

Respuesta

Calendario marciano de 191 días: 6 meses de 30 días más un mes corto de 11 días (7 meses en total).

Contenido de la página

Continuación del ejercicio 3

b) Si se toma una porción de masa terrestre que se encuentra en el interior de la Tierra y se afirma que su densidad es de $2,75 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ , entonces, se puede concluir que la densidad en el interior de la Tierra es mucho mayor que el valor promedio de la superficie terrestre. Argumenta esta afirmación.

4. Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Si se conoce que el radio de órbita de Marte es aproximadamente $0,65$ veces que el de la Tierra, entonces:

a) Mediante las leyes de Kepler indico ¿cuántos días tiene un año en Marte?

b) Si en la Tierra nos encontramos en el siglo XXI, señalo ¿cuántos siglos habrán pasado en Marte, tomando en cuenta el año marciano?

c) Con base en el número de días que tiene un año en Marte, elaboro, de manera creativa, un calendario anual, tomando en cuenta que los meses tienen 30 días.

¿Sabías qué?

Un año en Marte equivale a 687 días en la Tierra, lo que significa que el planeta Tierra requiere del doble de tiempo para orbitar el Sol.

Texto de Física — página 213.

Ejemplos resueltos

Calcular la densidad media de la Tierra con $M = 5{,}97 \times 10^{24} \, \text{kg}$ y $R = 6{,}37 \times 10^{6} \, \text{m}$ .

Volumen: $V = \frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot (6{,}37 \times 10^{6})^{3} = 1{,}08 \times 10^{21} \, \text{m}^{3}$ .
Densidad media: $\rho = \frac{M}{V} = \frac{5{,}97 \times 10^{24}}{1{,}08 \times 10^{21}} = 5{,}53 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ .
Al ser casi el doble de la densidad superficial ( $\approx 2{,}7 \times 10^{3} \, \text{kg/m}^{3}$ ), el interior debe estar formado por materiales mucho más densos (núcleo de hierro y níquel).

Tabla

Mes marciano	Duración (días)	Días acumulados
M-1	30	30
M-2	30	60
M-3	30	90
M-4	30	120
M-5	30	150
M-6	30	180
M-7 (mes corto)	11	191
Total	191

Diagrama

flowchart TD
  A["Datos: a_M = 0,65 a_T"] --> B["Tercera ley de Kepler: T^2/a^3 = cte"]
  B --> C["T_M = T_T (a_M/a_T)^{3/2}"]
  C --> D["T_M = 365,25 x 0,5240 = 191,4 días"]
  D --> E["4.b: 36 525 días / 191,4 = 190,8 años marcianos = 1,9 siglos"]
  D --> F["4.c: 191 días = 6 x 30 + 11 días"]
  G["Muestra interior: 2,75 x 10^3 kg/m^3"] --> H["Compara con promedio superficial ~2,7 x 10^3 kg/m^3"]
  H --> I["Presión aumenta con la profundidad: V disminuye"]
  I --> J["ρ = m/V aumenta en el interior"]
  K["M = 5,97 x 10^24 kg; R = 6,37 x 10^6 m"] --> L["ρ_Tierra = 5,53 x 10^3 kg/m^3"]
  J --> M["Interior más denso que la superficie"]
  L --> M

Fórmulas y ecuaciones

$\rho$ = $\frac{m}{V}$

$\frac{T^{2}}{a^{3}}$ = $\text{constante}$ $\quad$ $\Rightarrow$ $\quad$ T $\propto$ $a^{3/2}$

V = $\frac{4}{3}$ $\pi$ $R^{3}$

$\rho$ = $\frac{m}{V}$

$\rho_{$ $\text{Tierra}$ } = $\frac{M}{V}$

V = $\frac{4}{3}$ $\pi$ $R^{3}$

$\frac{T^{2}}{a^{3}}$ = $\text{constante}$

$T_{M}$ = $T_{T}$ $\cdot$ $\left(@@MATH_0@@\right)^{3/2}$

$\left(0,65\right)^{3/2}$ = 0,65 $\cdot$ $\sqrt{0,65}$ = 0,5240

$T_{M}$ = 365{,}25 $\cdot$ 0{,}5240 = 191{,}4 $\$ , $\text{días}$

n = $\frac{36\,525 \, \text{días}}{191{,}4 \, \text{días/año}}$ $\approx$ 191 $\$ , $\text{años marcianos}$

$\frac{190{,}8}{100}$ $\approx$ 1{,}9 $\$ , $\text{siglos marcianos}$

191 = 6 $\times$ 30 + 11

Glosario (5)

Densidad: Relación entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa: ρ = m/V, expresada en kg/m³.
Densidad media: Densidad que se obtiene al dividir la masa total de un cuerpo entre su volumen total (por ejemplo, la densidad media de la Tierra es ≈ 5,53 × 10³ kg/m³).
Tercera ley de Kepler: Ley que relaciona el cuadrado del periodo orbital de un planeta con el cubo de su radio de órbita: T²/a³ = constante.
Periodo orbital: Tiempo que tarda un planeta en completar una órbita alrededor del Sol; para la Tierra es de 365,25 días y para Marte, en la realidad, de 687 días.
Año marciano: Duración de una órbita completa de Marte alrededor del Sol; se calcula con la tercera ley de Kepler a partir del radio de su órbita.

Preguntas para practicar

¿Sabías qué? Un año en Marte equivale a 687 días en la Tierra: ¿qué significa esto respecto al tiempo que tarda cada planeta en orbitar el Sol?

Significa que Marte tarda aproximadamente el doble que la Tierra en completar una órbita alrededor del Sol: su órbita es más grande, y por la tercera ley de Kepler (T² ∝ a³) el periodo orbital aumenta al aumentar el radio orbital. Por eso, cuando en Marte transcurre 1 año, en la Tierra pasan 2.

¿Por qué la densidad del interior de la Tierra es mayor que la densidad promedio de su superficie?

Porque con la profundidad aumenta la presión del peso de las capas superiores, que comprime el material y reduce su volumen, incrementando la densidad (ρ = m/V). Además, el interior está formado por materiales metálicos (hierro y níquel) mucho más densos que las rocas superficiales de silicatos.

Temas y conceptos clave

Argumentación sobre la densidad interna de la TierraTercera ley de Kepler aplicada a MarteDía y año marcianoConstrucción de un calendario anualDensidadDensidad promedio de la superficie terrestreDensidad media de la TierraLeyes de KeplerPeriodo orbitalRadio de órbitaAño marciano

Fuentes y referencias

Constantes astronómicas: masa de la Tierra M = 5,97 × 10²⁴ kg y radio terrestre R = 6,37 × 10⁶ m (valores estándar).
Periodo terrestre de 365,25 días (año sideral terrestre).
Dato del recuadro "¿Sabías qué?": el año marciano equivale a 687 días terrestres.

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Preguntas que la gente también hace

¿Cómo se calcula la duración del año de otro planeta usando la tercera ley de Kepler?

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¿Por qué la densidad del interior de la Tierra es mayor que la densidad promedio de la superficie?

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¿Cuánto vale la densidad media de la Tierra y cómo se obtiene a partir de masa y radio?

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📌 Antes de leer esto

• Definición de densidad y su fórmula ρ = m/V
• Tercera ley de Kepler: T^{2}/a^{3} = constante
• Operaciones con potencias y exponentes fraccionarios (raíces)
• Concepto de período orbital y de radio de órbita

Siguiente tema sugerido

Masa, densidad y composición de los planetas del sistema solar a partir de los datos orbitales

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b) Si se toma una porción de masa terrestre que se encuentra en el interior de la Tierra y se afirma que su densidad es de 2,75x103 Kg/m? , entonces, se puede concluir que la densidad en el interior de la Tierra es mucho mayor que el valor promedio de la superficie terrestre. Argumento esta afirmación.

Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

Si se conoce que el radio de órbita de Marte es aproximadamente 0,65 veces que el de la Tierra, entonces:

a) Mediante las leyes de Kepler indico ¿cuántos días tiene un año en Marte?

b) Si en la Tierra nos encontramos en el siglo XXl, señalo ¿cuántos siglos habrán pasado en Marte, tomando en cuenta el año marciano?

c) Con base en el número de días que tiene un año en Marte, elaboro, de manera creativa, un calendario anual, tomando en cuenta que los meses tienen 30 días.

( >

¿Sabías qué?

Un año en Marte equivale a 687 días en la Tierra, lo que significa que el planeta Tierra requiere del doble de tiempo para orbitar el Sol.

Texto de Física | 543

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