Completar la tabla de velocidad de escape calculando la rapidez de escape de cada cuerpo, usando la masa terrestre (M_{\oplus}) y el radio terrestre (R_{\oplus}) como unidades de referencia.

Marco teórico

Al proyectar un cuerpo de masa m desde la superficie de un planeta de masa M y radio R, la energía mecánica total (cinética + potencial gravitatoria) debe ser cero en el infinito:

\frac{1}{2} m v_{esc}^{2} - \frac{G M m}{R} = 0

Despejando la rapidez de escape:

v_{esc} = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}

Paso 1. Velocidad de escape de la Tierra (valor de referencia)

Se usan G = 6.674 \times 10^{-11}\, \text{N} \cdot \text{m}^{2} \cdot \text{kg}^{-2}, M_{\oplus} = 5.97 \times 10^{24}\, \text{kg} y R_{\oplus} = 6.37 \times 10^{6}\, \text{m} (es decir, 6370 km):

v_{\oplus} = \sqrt{\frac{2GM_{\oplus}}{R_{\oplus}}} = \sqrt{\frac{2 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{6.37 \times 10^{6}}} = \sqrt{1.251 \times 10^{8}} = 1.1187 \times 10^{4}\, \text{m/s} \approx 11.2\, \text{km/s}

Paso 2. Expresión general con unidades terrestres

Si m es la masa del cuerpo medida en masas terrestres y r su radio medido en radios terrestres, entonces M = m \, M_{\oplus} y R = r \, R_{\oplus}. Al sustituir:

v = \sqrt{\frac{2 G (m \, M_{\oplus})}{r \, R_{\oplus}}} = \sqrt{\frac{m}{r}} \cdot \sqrt{\frac{2 G M_{\oplus}}{R_{\oplus}}} = 11.2 \times \sqrt{\frac{m}{r}}\, \text{km/s}

Es la fórmula operativa de toda la tabla: \boxed{v = 11.2 \cdot \sqrt{m/r}\ \text{km/s}}.

Paso 3. Sol (m = 318, r = 11)

\frac{m}{r} = \frac{318}{11} = 28.91 \qquad \sqrt{28.91} = 5.377 v = 11.2 \times 5.377 = 60.2\, \text{km/s}

Paso 4. Sol a la distancia de la órbita terrestre (m = 95{,}2, r = 9{,}1)

\frac{m}{r} = \frac{95{,}2}{9{,}1} = 10{,}46 \qquad \sqrt{10{,}46} = 3{,}234 v = 11.2 \times 3{,}234 = 36.2\, \text{km/s}

Paso 5. Júpiter (m = 17{,}1, r = 3{,}9)

\frac{m}{r} = \frac{17{,}1}{3{,}9} = 4{,}385 \qquad \sqrt{4{,}385} = 2{,}094 v = 11.2 \times 2{,}094 = 23.5\, \text{km/s}

Paso 6. Saturno (m = 14{,}5, r = 4)

\frac{m}{r} = \frac{14{,}5}{4} = 3{,}625 \qquad \sqrt{3{,}625} = 1{,}904 v = 11.2 \times 1{,}904 = 21.3\, \text{km/s}

Paso 7. Neptuno (m = 1, r = 1)

\frac{m}{r} = 1 \qquad \sqrt{1} = 1 v = 11.2 \times 1 = 11.2\, \text{km/s}

(Nota: esta fila reproduce exactamente los valores terrestres, por lo que el resultado es v_{\oplus}.)

Paso 8. Urano (m = 0{,}82, r = 0{,}95)

\frac{m}{r} = \frac{0{,}82}{0{,}95} = 0{,}8632 \qquad \sqrt{0{,}8632} = 0{,}9291 v = 11.2 \times 0{,}9291 = 10.4\, \text{km/s}

Paso 9. Tierra (m = 0{,}11, r = 0{,}53)

\frac{m}{r} = \frac{0{,}11}{0{,}53} = 0{,}2075 \qquad \sqrt{0{,}2075} = 0{,}4556 v = 11.2 \times 0{,}4556 = 5.10\, \text{km/s}

Paso 10. Venus (m = 0{,}055, r = 0{,}38)

\frac{m}{r} = \frac{0{,}055}{0{,}38} = 0{,}1447 \qquad \sqrt{0{,}1447} = 0{,}3804 v = 11.2 \times 0{,}3804 = 4.26\, \text{km/s}

Paso 11. Marte (m = 0{,}0123, r = 0{,}27)

\frac{m}{r} = \frac{0{,}0123}{0{,}27} = 0{,}04556 \qquad \sqrt{0{,}04556} = 0{,}2134 v = 11.2 \times 0{,}2134 = 2.39\, \text{km/s}

Paso 12. Tabla completada

Comprobaciones

• Sol: \sqrt{318/11} = 5.3767 y 11.2 \times 5.3767 = 60.22, redondea a 60.2 km/s. ✓
• Marte: \sqrt{0.0123/0.27} = 0.21344 y 11.2 \times 0.21344 = 2.39 km/s. ✓
• Neptuno coincide con el valor terrestre v_{\oplus} \approx 11.2\, \text{km/s}, lo que valida el uso de la Tierra como unidad de referencia. ✓

Observación didáctica

Los valores de la tabla son datos del libro y no coinciden con los valores astronómicos reales (por ejemplo, el radio solar es de unos 109 radios terrestres, no 11; por eso se obtienen 60.2 km/s en lugar de los 617.5 km/s reales). Lo importante es la método: mantener constante v_{\oplus} = 11.2\, \text{km/s} y aplicar v = 11.2\sqrt{m/r}.