Fuerza gravitatoria sobre una bola y velocidad orbital de la Tierra según Kepler

1. Cada par de bolas se atrae con magnitud dada por la ley de Newton: F = G\,\frac{m_a\,m_b}{r_{ab}^{2}}
2. Fuerza sobre m_1 debida a m_2: F_{12} = G\,\frac{m_1 m_2}{r_{12}^{2}}, \qquad \vec{F}_{12}\ \text{dirigida de } m_1\ \text{hacia } m_2
3. Fuerza sobre m_1 debida a m_3: F_{13} = G\,\frac{m_1 m_3}{r_{13}^{2}}, \qquad \vec{F}_{13}\ \text{dirigida de } m_1\ \text{hacia } m_3
4. Resultante por suma vectorial (principio de superposición): \vec{F}_{1} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13}
5. Se descomponen ambas en dos ejes (por ejemplo x hacia m_2 y y perpendicular) y se suman componentes: F_x = F_{12} + F_{13}\cos\theta y F_y = F_{13}\sin\theta, donde \theta es el ángulo entre las dos direcciones. Entonces |\vec{F}_{1}| = \sqrt{F_x^{2} + F_y^{2}}, \qquad \tan\alpha = \frac{F_y}{F_x} donde \alpha es la dirección de la resultante respecto del eje x.
6. Dibujo: se trazan \vec{F}_{12} desde m_1 hacia m_2 y \vec{F}_{13} desde m_1 hacia m_3 (paralelogramo) y la diagonal desde m_1 es el vector resultante \vec{F}_{1}.

1. Un vector unitario se obtiene dividiendo un vector por su módulo: \hat{u} = \frac{\vec{F}_{1}}{|\vec{F}_{1}|}
2. En componentes: \hat{u} = \frac{F_x\,\hat{i} + F_y\,\hat{j}}{\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}} = \cos\alpha\,\hat{i} + \sin\alpha\,\hat{j}
3. Comprobación: su módulo es |\hat{u}| = \sqrt{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = 1.

1. La dirección de cada fuerza de atraerión depende solo de la posición de las bolas: es radial, a lo largo de la recta que une los centros de dos masas.
2. Si se conservan las mismas masas y las mismas distancias r_{12} y r_{13}, el ángulo \theta entre \vec{F}_{12} y \vec{F}_{13} no cambia, por lo que la dirección de \vec{F}_{1} = \vec{F}_{12} + \vec{F}_{13} se mantiene idéntica.
3. Lo que sí cambia es la magnitud: la constante gravitacional del cuerpo central es G_{Luna} = G\left(\frac{M_{Luna}}{M_{Tierra}}\right) \approx \frac{G}{81}, ya que M_{Luna} \approx 7,35\times10^{22}\,\text{kg} y M_{Tierra} \approx 5,97\times10^{24}\,\text{kg}. Por tanto F_{Luna} \approx \frac{1}{81}\,F_{Tierra}
4. Justificación física: la fuerza gravitatoria universal es intrínseca al par de masas; no depende de la presencia de otros cuerpos ni del «ambiente» (sol, aire, suelo). Un campo gravitatorio no modifica la dirección de la fuerza entre dos masas aisladas.

La órbita es una elipse con el Sol en uno de sus focos (1.ª ley de Kepler). El perihelio es el punto más cercano al Sol y el afelio el más lejano.

flowchart TB
    P["Perihelio\n147 millones de km\nv = 30,3 km/s"] --> E["Elipse\nórbita de la Tierra\n(Sun en un foco F1)"]
    E --> A["Afelio\n152 millones de km\nv ≈ 29,3 km/s"]
    A --> P
    F["SOL\nen el foco F1"]

1. La órbita es elíptica, no circular.
2. La aceleración central es \vec{a} = -\dfrac{G M_{Sol}}{r^{2}}\hat{u}, cuya magnitud depende de la distancia r al Sol.
3. Como r varía entre 147\times10^{6}\,\text{km} y 152\times10^{6}\,\text{km}, la velocidad también varía: es máxima en el perihelio y mínima en el afelio (2.ª ley de Kepler / conservación del momento angular).

1. Datos: perihelio r_p = 147\times10^{6}\,\text{km}, v_p = 30{,}3\,\text{km/s}; afelio r_a = 152\times10^{6}\,\text{km}.
2. Por la 2.ª ley de Kepler, la tasa de barrido de área es constante: \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{1}{2} r\,v\perp = \text{cte} (la velocidad orbital es perpendicular al radio en perihelio y afelio).
3. De ahí se obtiene la conservación del momento angular por unidad de masa: r_p\,v_p = r_a\,v_a
4. Despejamos la velocidad en el afelio: v_a = v_p\,\frac{r_p}{r_a}
5. Sustituimos los datos (en millones de km las unidades se cancelan): v_a = 30{,}3\,\text{km/s} \times \frac{147\times10^{6}\,\text{km}}{152\times10^{6}\,\text{km}} = 30{,}3 \times 0{,}9671
6. Operamos: v_a = 29{,}30\,\text{km/s}

Verificación: v_a < v_p (29,3 < 30,3), como exige que la Tierra esté más lejos del Sol en el afelio; la relación r_p v_p = 147 \times 30{,}3 = 4454{,}1 y r_a v_a = 152 \times 29{,}30 = 4453{,}6, coinciden (diferencia solo por redondeo).

1. Ley de Kepler I: la órbita es una elipse y el Sol ocupa un foco; por tanto r varía.
2. Ley de Kepler II: «los radios vectores barren áreas iguales en tiempos iguales», es decir \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{1}{2} r v_{\perp} = \text{constante}.
3. Si r_a > r_p, para que el producto r\,v se mantenga, debe cumplirse: v_p > v_a
4. Interpretación energética: cerca del Sol el cuerpo se acelera (la fuerza de gravitación hace trabajo positivo) y se frena al alejarse, por conversión de energía cinética en energía potencial.