Enunciado: Con la cuerda trazar una órbita elíptica en el suelo y observar cómo se comporta la pelota al situarla en el "centro" de la figura.

1. Fijamos dos puntos fijos en el suelo (los focos, F_1 y F_2) y tensamos la cuerda entre ambos.
2. Manteniendo la cuerda tensa con un marcador, trazamos una curva: geométricamente, el lugar de los puntos cuya suma de distancias a los dos focos es constante, es decir d(P,F_1)+d(P,F_2)=2a, donde 2a es el eje mayor de la elipse.
3. La figura obtenida es una elipse (no un círculo), con semieje mayor a y semieje menor b, y excentricidad e=\frac{c}{a}, con c=\sqrt{a^2-b^2} la distancia foco–centro.
4. Si la cuerda se tensa con el marcador cerca de un extremo, la elipse se estira (e mayor); si el marcador queda entre los focos y estos se acercan, la elipse se parece más a un círculo (e\to 0).

Enunciado: Marcar varios puntos a lo largo de la elipse, hacer que la pelota recorra distintos tramos y cronometrar el tiempo de cada uno, verificando que barre áreas iguales en tiempos iguales.

1. Medimos el área del sector triangular \triangle P_i F_1 P_{i+1} barrida en el intervalo \Delta t_1: para un arco pequeño, A=\frac{1}{2} r_1 r_2 \sin(\Delta\theta), con r la distancia al Sol (foco) y \Delta\theta el ángulo barrido.
2. Repetimos con otro arco de diferente r y comprobamos cronométricamente que, si los tiempos son iguales, el área barrida también lo es: \frac{\Delta A}{\Delta t}=\text{constante}.
3. Se deduce que cuando la pelota pasa cerca del foco (perihelio) recorre un arco largo en el mismo tiempo que en el afelio, donde recorre uno corto.
4. Consecuencia: la velocidad orbital no es constante; es mayor en el perihelio y menor en el afelio, cumpliendo v_{perihelio}>v_{afelio}.

Enunciado: Variar la longitud de la cuerda (cambiando el semieje mayor a) y registrar el periodo T de cada órbita.

1. Para cada longitud de cuerda medimos a (semieje mayor) y T (tiempo de una vuelta completa).
2. Armamos una tabla de valores y calculamos \frac{T^2}{a^3} para cada caso.
3. Observamos que el cociente \frac{T^2}{a^3} es aproximadamente el mismo en todos los casos.
4. Expresión de la ley: \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}\approx \frac{4\pi^2}{GM}=\text{cte} para cuerpos de masa despreciable frente a la del Sol.

Ejemplo numérico (verificación en el Sol): Para la Tierra, a_{\oplus}=1\,\text{UA} y T_{\oplus}=1\,\text{año}, entonces \frac{T^2}{a^3}=\frac{1^2}{1^3}=1. Para Marte, a=1{,}52\,\text{UA}: T^2=a^3=(1{,}52)^3\Rightarrow T=\sqrt{3{,}512}\approx 1{,}87\,\text{años}, que coincide con el periodo real (1{,}88\,\text{años}).

Enunciado: Explicar cómo el ejercicio práctico representa las Leyes de Kepler y cómo estas se aplican a situaciones cotidianas.

1. La cuerda y el marcador reproducen el movimiento de un planeta alrededor del Sol con la sola condición de que la fuerza se dirija a un punto fijo (el foco).
2. La constancia de \frac{\Delta A}{\Delta t} aparece porque la fuerza es central: no ejerce torque sobre el cuerpo, así que el momento angular se conserva.
3. Las mismas leyes rigen satélites artificiales, estrellas binarias y partículas en aceleradores, y son la base de la mecánica celeste.
4. Las observaciones directas (marcar, medir, cronometrar) permiten "ver" una ley que en el cielo solo aparece como un dato matemático.

Respuesta orientativa: El ejercicio modela el problema gravitatorio con objetos domésticos; al igual que un péndulo o un proyectil, el movimiento orbital obedece a leyes generales que se pueden reproducir en el aula y así internalizarlas.

Metacognición