Determinar la densidad de la Tierra usando g = 9,81 m/s², G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² y R = 6,37 × 10⁶ m.

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Densidad de la Tierra a partir de la ley de la gravitación universal

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Respuesta rápida

ρ ≈ 5,51 × 10³ kg/m³ (≈ 5513 kg/m³ ≈ 5,51 g/cm³); masa terrestre M ≈ 5,97 × 10²⁴ kg.

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Solución — Página 213

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 3

Enunciado: la densidad es el cociente entre masa y volumen ( $\rho = m/V$ ); para calcular la densidad de la Tierra se aplica la ley de la gravitación universal, usando $g = 9{,}81\,\text{m/s}^{2}$ , $G = 6{,}67\times10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\cdot\text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}}$ y $R = 6{,}37\times10^{6}\,\text{m}$ .

Parte 3.a

La ley de la gravitación universal establece que sobre un cuerpo en la superficie terrestre:

$F = \frac{G\,M\,m}{R^{2}}$

En la superficie, esa fuerza es el peso, $F = m\,g$ . Igualando:

$m\,g = \frac{G\,M\,m}{R^{2}}$

Se cancela la masa de prueba $m$ :

$g = \frac{G\,M}{R^{2}}$

Despejamos la masa de la Tierra $M$ :

$M = \frac{g\,R^{2}}{G}$

Sustituimos los datos:

$M = \frac{(9{,}81\,\text{m/s}^{2})(6{,}37\times10^{6}\,\text{m})^{2}}{6{,}67\times10^{-11}\,\text{N}\cdot\text{m}^{2}/\text{kg}^{2}}$

$(6{,}37\times10^{6})^{2} = 40{,}5769\times10^{12} = 4{,}05769\times10^{13}\,\text{m}^{2}$

$M = \frac{(9{,}81)(4{,}05769\times10^{13})}{6{,}67\times10^{-11}} = \frac{3{,}98059\times10^{14}}{6{,}67\times10^{-11}} = 5{,}968\times10^{24}\,\text{kg}$

La Tierra es una esfera, por lo tanto su volumen es:

$V = \frac{4}{3}\,\pi\,R^{3} = \frac{4}{3}(3{,}1416)(6{,}37\times10^{6})^{3}$

$(6{,}37\times10^{6})^{3} = 2{,}5847\times10^{20}\,\text{m}^{3}$

$V = 1{,}3333(3{,}1416)(2{,}5847\times10^{20}) = 1{,}0832\times10^{21}\,\text{m}^{3}$

Finalmente, la densidad es:

$\rho = \frac{M}{V} = \frac{5{,}968\times10^{24}\,\text{kg}}{1{,}0832\times10^{21}\,\text{m}^{3}} = 5{,}51\times10^{3}\,\text{kg/m}^{3}$

(Método abreviado: combinando $g = GM/R^2$ con $\rho = M/V = \dfrac{M}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}$ se llega directamente a $\rho = \dfrac{3g}{4\pi G R}$ .)

Nota de corrección: el enunciado imprime el radio como “ $6{,}37\times10\,\text{m}^{6}$ ”, que corresponde a un error tipográfico; el valor correcto es $R = 6{,}37\times10^{6}\,\text{m}$ .

Respuesta

$\rho_{\text{Tierra}} \approx 5{,}51\times10^{3}\,\text{kg/m}^{3} = 5513\,\text{kg/m}^{3} \approx 5{,}51\,\text{g/cm}^{3}$ .

Contenido de la página

3. Leo el siguiente planteamiento y realizo las actividades a continuación:

En términos generales, la densidad es una magnitud física escalar que resulta de la relación entre la masa y el volumen. Una de las alternativas para realizar este cálculo es aplicar la ley gravitacional universal.

Ilustración del planeta Tierra

a) Determino la densidad de la Tierra, tomando en cuenta la gravedad como $9{,}81\,\text{m/s}^{2}$ , la constante de gravitación $6{,}67\times10^{-11}\,\dfrac{\text{N}\,\text{m}^{2}}{\text{kg}^{2}}$ y el radio de la Tierra $6{,}37\times10^{6}\,\text{m}$ .

Ejemplos resueltos

Calcular la masa de la Tierra con G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg², g = 9,81 m/s² y R = 6,37 × 10⁶ m.

M = gR²/G = (9,81)(6,37×10⁶)²/(6,67×10⁻¹¹) = (3,98×10¹⁴)/(6,67×10⁻¹¹) ≈ 5,97 × 10²⁴ kg.

Tabla

Magnitud	Valor	Unidad
Gravedad (g)	9,81	m/s²
Constante de gravitación (G)	6,67 × 10⁻¹¹	N·m²/kg²
Radio de la Tierra (R)	6,37 × 10⁶	m
Masa de la Tierra (M)	5,97 × 10²⁴	kg
Volumen de la Tierra (V)	1,08 × 10²¹	m³
Densidad de la Tierra (ρ)	5,51 × 10³	kg/m³

Diagrama

flowchart TD
  A[Gravedad g = GM/R^2] --> B[M = gR^2 / G]
  B --> C[M = 5.97e24 kg]
  D[Volumen V = 4/3 pi R^3] --> E[V = 1.08e21 m^3]
  C --> F[Densidad rho = M/V]
  E --> F
  F --> G[rho = 5.51e3 kg/m^3]

Fórmulas y ecuaciones

M = gR²/G

ρ = 3g/(4πGR)

V = (4/3)πR³

F = $\frac{G\,m\,M}{R^{2}}$

g = $\frac{G\,M}{R^{2}}$

M = $\frac{g\,R^{2}}{G}$

V = $\frac{4}{3}$ $\,\pi\,R^{3}$

$\rho$ = $\frac{M}{V}$

$\rho$ = $\frac{3\,g}{4\,\pi\,G\,R}$

Glosario (6)

Densidad: Magnitud física escalar que relaciona la masa de un cuerpo con su volumen: ρ = m/V. Se mide en kg/m³.
Ley de la gravitación universal: Ley de Newton que establece que toda masa atrae a otra con una fuerza proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas: F = GmM/r².
Constante de gravitación (G): Constante universal con valor 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² que aparece en la ley de la gravitación universal.
Gravedad (g): Aceleración con que caen los cuerpos en la superficie terrestre, aproximadamente 9,81 m/s².
Volumen de una esfera: V = (4/3)πR³, donde R es el radio de la esfera.
Radio de la Tierra: Distancia aproximada desde el centro de la Tierra hasta su superficie: 6,37 × 10⁶ m (≈ 6370 km).

Preguntas para practicar

¿Por qué la densidad media de la Tierra (≈ 5,51 g/cm³) es mayor que la densidad del agua (1 g/cm³)?

Porque el interior de la Tierra está formado por materiales muy densos, especialmente hierro y níquel en el núcleo, cuya densidad es mucho mayor que la del agua; al promediar toda la masa sobre el volumen total se obtiene un valor intermedio mayor que el de la capa superficial.

¿Qué representan cada uno de los símbolos en la fórmula de la ley gravitacional universal?

F es la fuerza de atracción gravitatoria, G es la constante de gravitación (6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²), m y M son las masas de los cuerpos que se atraen y R es la distancia entre sus centros.

Temas y conceptos clave

Ley de la gravitación universalDensidadMasa y volumen de la TierraNotación científicadensidadmasa terrestreradio terrestreconstante de gravitación Ggravedad superficialvolumen de una esfera