b) Indico en qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y la dibujo. (Continuación: los datos del movimiento están en la página anterior.)

Cuadrante determinado por el signo de ( x, y)

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Vector desplazamiento por cuadrantes y variación de velocidad (aceleración media)

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Respuesta rápida

3.b: el cuadrante lo fijan los signos de Δx = x₂−x₁ y Δy = y₂−y₁ (datos de la pág. anterior). 4.a: ΔV = (−3, 2) m/s → II cuadrante. 4.b: ΔV = (3, −2) m/s → IV cuadrante.

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Solución — Página 26

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 3

b

"Indico en qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y la dibujo." (los datos del movimiento se encuentran en la página anterior).

El vector desplazamiento une el punto inicial con el final: $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ .
Sus componentes son $\Delta x = x_2 - x_1$ y $\Delta y = y_2 - y_1$ , es decir $\vec{d} = \Delta x\,\hat{i} + \Delta y\,\hat{j}$ .
El cuadrante se determina solo con los signos de las componentes:

$\Delta x$	$\Delta y$	Cuadrante
$+$	$+$	I
$-$	$+$	II
$-$	$-$	III
$+$	$-$	IV

Justifico: si el cuerpo se desplaza hacia la derecha ( $\Delta x>0$ ) y hacia arriba ( $\Delta y>0$ ), el vector queda en el I cuadrante; si sube pero va a la izquierda, en el II; etc.
Dibujo: trazo los ejes $x$ , $y$ ; coloco la cola del vector en el origen (o en $P_1$ ) y la punta en la dirección dada por $(\Delta x, \Delta y)$ , etiquetando $\vec{d}$ .

Respuesta orientativa: con los valores de la página anterior se sustituyen $x_1,y_1,x_2,y_2$ ; el signo de $\Delta x$ y $\Delta y$ indica el cuadrante (por ejemplo, $\Delta x>0$ y $\Delta y<0$ implica IV cuadrante).

Ejercicio 4

"Observo la figura y, a partir de la definición de la velocidad y la aceleración, elaboro una gráfica similar. Considero una posición y velocidad que permita tener como vector resultante una variación de velocidad (aceleración media) que se encuentre en el segundo y cuarto cuadrante."

Parte 4.a

Variación de velocidad en el II cuadrante

Definiciones: $\vec{v} = \dfrac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ y $\vec{a}_{\text{media}} = \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \dfrac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{\Delta t}$ . Como $\Delta t>0$ , $\vec{a}_{\text{media}}$ y $\Delta\vec{v}$ tienen la misma dirección y cuadrante.
Para que $\Delta\vec{v}$ esté en el II cuadrante se requiere $\Delta v_x<0$ y $\Delta v_y>0$ . Elijo $\vec{v}_1 = (4, 1)\ \text{m/s}$ y $\vec{v}_2 = (1, 3)\ \text{m/s}$ .
Calculo: $\Delta\vec{v} = (1-4)\,\hat{i} + (3-1)\,\hat{j} = (-3, 2)\ \text{m/s}$ . Como $(-3,2)$ tiene $x<0$ y $y>0$ → II cuadrante ✔
Con $\Delta t = 2\ \text{s}$ : $\vec{a}_{\text{media}} = \left(\frac{-3}{2}, \frac{2}{2}\right) = (-1.5, 1)\ \text{m/s}^{2}$ .
Posiciones coherentes con esas velocidades (el promedio debe estar entre las direcciones de $\vec v_1$ y $\vec v_2$ ): $\vec{r}_1 = (1,1)\ \text{m}$ , $\vec{r}_2 = (4,3)\ \text{m}$ , luego $\vec{v}_{\text{prom}} = \frac{(3,2)}{2} = (1.5,1)\ \text{m/s}$ , cuya dirección ( $33.7^{\circ}$ ) queda entre $14^{\circ}$ ( $\vec v_1$ ) y $71.6^{\circ}$ ( $\vec v_2$ ).
Gráfica: ejes $x,y$ ; en $P_1(1,1)$ dibujo $\vec{v}_1$ hacia arriba-derecha; en $P_2(4,3)$ dibujo $\vec{v}_2$ hacia arriba-izquierda; une $P_1$ y $P_2$ con una curva. Aparte, triángulo de vectores: $\vec{v}_1 + \Delta\vec{v} = \vec{v}_2$ , con $\Delta\vec{v}$ en verde apuntando a izquierda-arriba.

Respuesta

$\Delta\vec{v} = (-3, 2)\ \text{m/s}$ , en el II cuadrante; $\vec{a}_{\text{media}} = (-1.5, 1)\ \text{m/s}^{2}$ .

Parte 4.b

Variación de velocidad en el IV cuadrante

Para el IV cuadrante se necesita $\Delta v_x>0$ y $\Delta v_y<0$ . Elijo $\vec{v}_1 = (1, 3)\ \text{m/s}$ y $\vec{v}_2 = (4, 1)\ \text{m/s}$ (justo los vectores del caso anterior intercambiados).
Calculo: $\Delta\vec{v} = (4-1)\,\hat{i} + (1-3)\,\hat{j} = (3, -2)\ \text{m/s}$ . Como $(3,-2)$ tiene $x>0$ y $y<0$ → IV cuadrante ✔
Con $\Delta t = 2\ \text{s}$ : $\vec{a}_{\text{media}} = \left(\frac{3}{2}, \frac{-2}{2}\right) = (1.5, -1)\ \text{m/s}^{2}$ .
Posiciones: $\vec{r}_1 = (1,1)\ \text{m}$ , $\vec{r}_2 = (4,3)\ \text{m}$ → $\vec{v}_{\text{prom}} = (1.5, 1)\ \text{m/s}$ ( $33.7^{\circ}$ ), dirección intermedia entre $71.6^{\circ}$ ( $\vec v_1$ ) y $14^{\circ}$ ( $\vec v_2$ ), coherente con una trayectoria curva.
Gráfica: en $P_1$ dibujo $\vec{v}_1$ casi vertical hacia arriba; en $P_2$ dibujo $\vec{v}_2$ hacia abajo-derecha; el triángulo $\vec{v}_1 \to \Delta\vec{v} \to \vec{v}_2$ muestra $\Delta\vec{v}$ apuntando a derecha-abajo.

Verificación: en ambos casos $\vec{v}_2 = \vec{v}_1 + \Delta\vec{v}$ y $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{3^{2}+2^{2}} = \sqrt{13} \approx 3.61\ \text{m/s}$ , igual en los dos casos.

Respuesta

$\Delta\vec{v} = (3, -2)\ \text{m/s}$ , en el IV cuadrante; $\vec{a}_{\text{media}} = (1.5, -1)\ \text{m/s}^{2}$ .

Contenido de la página

b) Indico en qué cuadrante se encuentra el vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y la dibujo.

(Espacios para respuesta y dibujo.)

4. Observo la figura y, a partir de la definición de la velocidad y la aceleración, elaboro una gráfica similar. Considero una posición y velocidad que permita tener como vector resultante una variación de velocidad (aceleración media) que se encuentre en el segundo y cuarto cuadrante.

$\overrightarrow{\Delta V}=\overrightarrow{V_{2}}-\overrightarrow{V_{1}}$

Figura: sistema de ejes $x,y$ con un auto en $P_1$ (vector posición $\vec r_1$ , velocidad $\vec v_1$ ) y otro en $P_2$ ( $\vec r_2$ , $\vec v_2$ ), unidos por una trayectoria curva; a la derecha, el triángulo de vectores $\vec v_1$ , $\vec v_2$ y $\Delta\vec v = \vec v_2 - \vec v_1$ ("vector variación de velocidad").

Fuente: https://lh9.clb4pme

Texto de Física — pág. 25 (pie de página del libro).

Ejemplos resueltos

Obtener una variación de velocidad en el II cuadrante con $\vec v_1=(4,1)\ \text{m/s}$ y $\vec v_2=(1,3)\ \text{m/s}$ , $\Delta t = 2\ \text{s}$ .

$\Delta\vec v=(1-4)\hat i+(3-1)\hat j=(-3,2)\ \text{m/s}$ → II cuadrante. $\vec a=\frac{(-3,2)}{2}=(-1.5,1)\ \text{m/s}^{2}$ .

Obtener una variación de velocidad en el IV cuadrante con $\vec v_1=(1,3)\ \text{m/s}$ y $\vec v_2=(4,1)\ \text{m/s}$ , $\Delta t = 2\ \text{s}$ .

$\Delta\vec v=(4-1)\hat i+(1-3)\hat j=(3,-2)\ \text{m/s}$ → IV cuadrante. $\vec a=\frac{(3,-2)}{2}=(1.5,-1)\ \text{m/s}^{2}$ .

Fórmulas y ecuaciones

$\Delta$ $\vec{v}$ = $\vec{v}$ _2- $\vec{v}$ _1

$\vec{a}@@MATH_0@@\text{media}$ }= $\dfrac{\vec{v}_2-\vec{v}_1}{\Delta t}$

$\vec{d}@@MATH_0@@+\Delta$ $y\$ , $\hat{j}$

$\vec{d}$ = $\vec{r}$ _2- $\vec{r}@@MATH_0@@\hat{i}@@MATH_1@@\hat{j}$

$\vec{v}$ = $\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

$\vec{a}@@MATH_0@@\text{media}$ }= $\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$ = $\frac{\vec{v}_2-\vec{v}_1}{\Delta t}$

$\Delta$ $\vec{v}$ = $\vec{v}$ _2- $\vec{v}$ _1

$\vec{v}$ _2= $\vec{v}@@MATH_0@@\vec{v}$

Glosario (5)

Vector desplazamiento: Vector que va del punto inicial al final de la trayectoria: Δr = r₂ − r₁; depende solo de los puntos inicial y final.
Cuadrante: Cada una de las cuatro regiones del plano cartesiano, definidas por los signos de las coordenadas x e y.
Variación de velocidad: Diferencia entre la velocidad final y la inicial, ΔV = V₂ − V₁; su dirección es la del vector aceleración media.
Aceleración media: Cociente entre la variación de velocidad y el intervalo de tiempo: a = ΔV/Δt.
Vector velocidad: Vector tangente a la trayectoria que indica la dirección y el sentido del movimiento y su rapidez.

Temas y conceptos clave

Vector desplazamiento y cuadrantesVariación de velocidadAceleración mediaRepresentación gráfica de vectoresDesplazamiento Δr = r₂ − r₁Cuadrantes del plano cartesianoΔV = V₂ − V₁Aceleración media = ΔV/ΔtTriángulo de vectores

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📌 Antes de leer esto

• Componentes de un vector en el plano cartesiano
• Signo de las coordenadas en cada cuadrante
• Definiciones de velocidad y aceleración media
• Resta de vectores (triángulo de vectores)

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b) Indico en qué cuadrante se encuentra lel vector desplazamiento. Justifico mi respuesta y la dibujo.

K J) K y

Observo la figura y partir de la definición de la velocidad y la aceleración elaboro una gráfica similar. Considero una posición y velocidad que permita tener como vector resultante una variación de velocidad (aceleración media) que se encuentre en el segundo y cuarto

cuadrante.

y Vi 1 p2 vi Vi