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Tema 2: Movimiento en dos dimensiones

📄 introduccion fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

Saberes previos: (1) Se representa con ejes $x,y$ , posición $(x,y)$ o $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$ y trayectoria $y(x)$ . (2) En una dimensión basta una coordenada; en dos se requieren $x$ y $y$ , admitiendo trayectorias curvas y vectores con componentes independientes.

fisica ⭐ Dificultad 1/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 22

Fisica 3° · 2024

Saberes previos

S1. ¿Cómo se podría representar el movimiento de un avión despegando en un plano bidimensional?

Se eligen dos ejes perpendiculares: el eje $x$ horizontal (recorrido en tierra) y el eje $y$ vertical (altura sobre la pista). El origen $O$ corresponde al punto de la pista donde comienza el despegue.
La posición del avión en cualquier instante $t$ se escribe como el par de coordenadas $(x(t),\,y(t))$ , o de forma equivalente mediante el vector posición $\vec{r}(t)=x(t)\,\hat{i}+y(t)\,\hat{j}$ .
La trayectoria es la curva $y(x)$ obtenida al eliminar el tiempo entre ambas coordenadas; para un despegue con aceleración casi constante y ángulo fijo, la trayectoria es una línea recta inclinada un ángulo $\theta$ sobre la horizontal, tal que $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ .
Se pueden dibujar vectores desplazamiento $\Delta\vec{r}$ entre dos instantes y vectores velocidad $\vec{v}$ tangentes a la trayectoria, para comparar la rapidez (módulo escalar) con la velocidad (magnitud vectorial).

Respuesta orientativa: Se representa sobre un sistema de ejes cartesianos $x$ (horizontal) y $y$ (vertical), donde la posición del avión se da por las coordenadas $(x,y)$ o por el vector $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}$ , y la trayectoria es la curva descrita por esos puntos en el tiempo.

S2. ¿Qué diferencia encuentras entre el movimiento en línea recta y el movimiento en dos dimensiones?

En el movimiento en línea recta (una dimensión) la posición se describe con un único número $x(t)$ y el vector posición tiene una sola dirección: $\vec{r}=x\,\hat{i}$ ; basta un signo $+$ o $-$ para indicar el sentido.
En el movimiento en dos dimensiones se necesitan dos coordenadas $x(t)$ y $y(t)$ simultáneamente; el vector posición tiene dos componentes, $\vec{r}=x\,\hat{i}+y\,\hat{j}$ , y sus componentes pueden variar de forma independiente.
Como consecuencia, en dos dimensiones la trayectoria puede ser curva (parábola, círculo, elipse) y la dirección de la velocidad cambia continuamente, aunque su módulo (rapidez) se mantenga constante.
Para describirlo completo se usan magnitudes vectoriales (posición, desplazamiento, velocidad, aceleración) además de las escalares (distancia, rapidez, tiempo), lo que exige descomponer los vectores en componentes y combinarlas con el Teorema de Pitágoras: $s=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ y $\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$ .

Respuesta orientativa: La diferencia esencial es que el movimiento rectilíneo se describe con una sola coordenada y un solo sentido, mientras que el movimiento en dos dimensiones requiere dos coordenadas simultáneas ( $x$ y $y$ ), lo que permite trayectorias curvas y vectores con componentes independientes.

Contenido de apoyo de la página

Criterio de evaluación

CE.CN.F.5.2. Determina, mediante representaciones gráficas de un objeto que se mueve en dos dimensiones: la posición, la trayectoria, el vector posición, el vector desplazamiento, la velocidad promedio y la aceleración promedio, y establece la relación entre magnitudes escalares y vectoriales.

Objetivo

OG.CN.8. Comunicar información científica, resultados y conclusiones de sus indagaciones a diferentes interlocutores, mediante diversas técnicas y recursos, la argumentación crítica y reflexiva y la justificación con pruebas y evidencias.

Interpretación de la figura

La ilustración muestra un futbolista que patcea un balón con una velocidad inicial $\vec{v}_0$ que forma el ángulo $\theta$ con la horizontal. La trayectoria del balón es una parábola; en un instante dado, el vector desplazamiento $S$ tiene componentes horizontal $x$ y vertical $y$ , de modo que su módulo cumple $S=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ y su dirección $\tan\theta=\dfrac{y}{x}$ . Es un ejemplo típico de movimiento en dos dimensiones: el movimiento horizontal (velocidad constante, sin aceleración) y el movimiento vertical (aceleración de gravedad $g$ hacia abajo) ocurren de forma independiente.

Respuesta: El movimiento en dos dimensiones se describe con dos coordenadas $(x,y)$ y vectores de dos componentes; se diferencia del movimiento rectilíneo porque admite trayectorias curvas y requiere distinguir magnitudes escalares de vectoriales.

Contenido de la página

TEMA 2: Movimiento en dos dimensiones

![Figura: futbolista patpeando un balón con trayectoria parabólica sobre ejes x e y; el desplazamiento S tiene componentes x e y y forma el ángulo θ con la horizontal. Fuente: https://n9.c/fhe8b]

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CE.CN.F.5.2. Determina mediante representaciones gráficas de un objeto, que se mueve en dos dimensiones: la posición, la trayectoria, el vector posición, el vector desplazamiento, la velocidad promedio, la aceleración promedio, y establece la relación entre magnitudes escalares y vectoriales.

OBJETIVOS

Saberes previos

¿Cómo se podría representar el movimiento de un avión despegando en un plano bidimensional?
¿Qué diferencia encuentras entre el movimiento en línea recta y el movimiento en dos dimensiones?

Ejemplos resueltos

Un balón se patpea y en un instante se encuentra en $x=12\,\text{m}$ y $y=5\,\text{m}$ . ¿Cuál es el módulo del vector desplazamiento y su ángulo con la horizontal?

Módulo: $S=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{(12)^{2}+(5)^{2}}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\,\text{m}$ .
Ángulo: $\tan\theta=\dfrac{y}{x}=\dfrac{5}{12}$ , luego $\theta=\arctan(0{,}4167)\approx 22{,}6^{\circ}$ .
El vector es $\vec{S}=12\,\hat{i}+5\,\hat{j}$ en metros. Respuesta: $S=13\,\text{m}$ y $\theta\approx 22{,}6^{\circ}$ .

Tabla

Magnitud	Tipo	En 1D	En 2D
Distancia / rapidez	Escalar	número y unidad	número y unidad
Posición	Vector	$x$	$(x,y)$ o $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}$
Desplazamiento	Vector	$\Delta x$	$\Delta\vec{r}=\Delta x\,\hat{i}+\Delta y\,\hat{j}$
Velocidad promedio	Vector	$\Delta x/\Delta t$	$\Delta\vec{r}/\Delta t$

Diagrama

graph LR
  A[Origen O] --> B[Posición x,y]
  B --> C[Vector posición r]
  C --> D[Vector desplazamiento Δr]
  D --> E[Velocidad promedio Δr/Δt]
  E --> F[Aceleración promedio Δv/Δt]
  A --> G[Trayectoria curva y(x)]

Fórmulas y ecuaciones

Módulo del vector desplazamiento: $S=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Dirección: $\theta=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$

Velocidad promedio: $\vec{v}_{prom}=\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

$\vec{r}@@MATH_0@@+y(t)\$ , $\hat{j}$

S= $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

$\tan\theta=$ $\dfrac{y}{x}$

$\vec{v}@@MATH_0@@\dfrac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$

$\vec{a}@@MATH_0@@\dfrac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$

Glosario (7)

Posición: Lugar que ocupa un objeto en el espacio, definido respecto de un origen de referencia; en dos dimensiones se da por las coordenadas (x, y).
Trayectoria: Curva que describe la posición de un objeto a lo largo del tiempo en el plano.
Vector posición: Vector que va desde el origen de referencia hasta la posición del objeto, con componentes x e y.
Vector desplazamiento: Vector que une la posición inicial con la final, independiente del camino recorrido.
Velocidad promedio
Magnitud escalar: Cantidad completamente determinada por un número y una unidad (distancia, tiempo, rapidez).
Magnitud vectorial: Cantidad que requiere módulo, dirección y sentido (posición, desplazamiento, velocidad, aceleración).

Preguntas para practicar

¿Cómo se podría representar el movimiento de un avión despegando en un plano bidimensional?

Usando ejes cartesianos con origen en la pista: el eje x horizontal y el eje y vertical. La posición del avión en cada instante es el par (x, y) o el vector r = x·î + y·ĵ, y la trayectoria es la curva y(x) que une esos puntos, por ejemplo una recta inclinada si mantiene ángulo y aceleración constantes.

¿Qué diferencia encuentras entre el movimiento en línea recta y el movimiento en dos dimensiones?

En la línea recta la posición se describe con una sola coordenada y un solo sentido, mientras que en dos dimensiones se necesitan dos coordenadas simultáneas (x y y), lo que permite trayectorias curvas y vectores con componentes independientes que deben combinarse con Pitágoras y trigonometría.

Temas y conceptos clave

Movimiento en dos dimensionesRepresentación gráfica del movimientoMagnitudes escalares y vectorialesSaberes previos sobre cinemáticaposicióntrayectoriavector posiciónvector desplazamientovelocidad promedioaceleración promediomagnitud escalarmagnitud vectorialplano bidimensional

Fuentes y referencias

https://n9.c/fhe8b

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📌 Antes de leer esto

• Sistema de ejes cartesianos y coordenadas (x,y)
• Conceptos de posición, desplazamiento, distancia y rapidez en una dimensión
• Trigonometría básica: seno, coseno y tangente de un ángulo
• Módulo de un vector y Teorema de Pitágoras

Siguiente tema sugerido

Componentes de un vector y descomposición vectorial en ejes x e y

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TEMA 2:

Movimiento en dos dimensiones

Fuente: https:/n9.cl/fheBb

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CE.CN.F.5.2. Determina mediante representaciones gráficas de un objeto, que se mueve en dos dimensiones: la posición, la trayectoria, el vector posición, el vector desplazamiento, la velocidad promedio, la aceleración promedio, y establece la relación entre magnitudes escalares y vectoriales.

OBJETIVOS

OG.CN.8. Comunicar información científica, resultados y conclusiones de sus indagaciones a diferentes interlocutores, mediante diversas técnicas y recursos, la argumentación crítica y reflexiva y la justificación con pruebas y evidencias.

Saberes previos ¿Cómo se podría representar el movimiento de un avión despegando en un plano bidimensional? ¿Qué diferencia encuentras entre el movimiento en línea recta y el movimiento en dos dimensiones?

Texto de Física \ 5,

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