Contexto: Un carrusel no motorizado (parque) gira hasta 10 \, \text{rpm} con una aceleración tangencial de 1 \, \text{cm/s}^{2}. Carlos se ubica en la periferia (radio R) y Pablo en la mitad entre el eje y el borde (radio R/2).
Determinar velocidad angular, velocidad tangencial y aceleración centrípeta para Carlos y Pablo, sabiendo que el radio del juego es R.
Paso 1. Conversión de la velocidad angular a unidades SI.
La velocidad angular es igual para los dos, porque ambos giran con el mismo carrusel (movimiento rígido):
\omega = 10 \, \frac{\text{rev}}{\text{min}} \times \frac{2\pi \, \text{rad}}{1 \, \text{rev}} \times \frac{1 \, \text{min}}{60 \, \text{s}} = \frac{20\pi}{60} = \frac{\pi}{3} \, \text{rad/s} \approx 1{,}05 \, \text{rad/s}
Entonces: \omega_{\text{Carlos}} = \omega_{\text{Pablo}} = \dfrac{\pi}{3} \, \text{rad/s}.
Paso 2. Radios de cada persona.
- Carlos (periferia): r_C = R
- Pablo (mitad entre el eje y el borde): r_P = \dfrac{R}{2}
Paso 3. Velocidad tangencial (lineal) de cada uno.
Se usa v = \omega \cdot r, evaluada en el instante en que el juego alcanza 10 \, \text{rpm}.
- Carlos:
v_C = \omega \, r_C = \frac{\pi}{3} \cdot R \approx 1{,}05 \, R \; \text{m/s} \quad (R \text{ en metros})
- Pablo:
v_P = \omega \, r_P = \frac{\pi}{3} \cdot \frac{R}{2} = \frac{\pi}{6} \, R \approx 0{,}52 \, R \; \text{m/s}
Conclusión intermedia: al estar a la mitad del radio, Pablo tiene exactamente la mitad de la velocidad tangencial de Carlos: v_P = \dfrac{v_C}{2}.
Paso 4. Aceleración centrípeta de cada uno.
Fórmula: a_c = \dfrac{v^{2}}{r} = \omega^{2} r.
- Carlos:
a_{c,C} = \omega^{2} r_C = \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2} R = \frac{\pi^{2}}{9} R \approx 1{,}10 \, R \; \text{m/s}^{2}
- Pablo:
a_{c,P} = \omega^{2} r_P = \left(\frac{\pi}{3}\right)^{2} \frac{R}{2} = \frac{\pi^{2}}{18} R \approx 0{,}55 \, R \; \text{m/s}^{2}
También a_{c,P} = \dfrac{a_{c,C}}{2}.
Paso 5. Comprobación con la aceleración tangencial dada.
La aceleración tangencial indicada es a_t = 1 \, \text{cm/s}^{2} = 0{,}01 \, \text{m/s}^{2}. Como a_t = \alpha \, r, la aceleración angular sería:
\alpha = \frac{a_t}{r} \Rightarrow \alpha_C = \frac{0{,}01}{R} \, \text{rad/s}^{2}, \qquad \alpha_P = \frac{0{,}01}{R/2} = \frac{0{,}02}{R} \, \text{rad/s}^{2}
Si en cambio el enunciado quiere decir que a_t = 0{,}01 \, \text{m/s}^{2} es el mismo valor para ambos, entonces la aceleración total de cada uno se obtiene con:
a_{\text{total}} = \sqrt{a_t^{2} + a_c^{2}}
Para Carlos: a_{\text{total},C} = \sqrt{(0{,}01)^{2} + (1{,}10\,R)^{2}}; para Pablo: a_{\text{total},P} = \sqrt{(0{,}01)^{2} + (0{,}55\,R)^{2}}. Como a_c \gg a_t, la aceleración está dominada por la centrípeta (la que "empuja" hacia el centro y mantiene el movimiento circular).
Ejemplo numérico si R = 1{,}5 \, \text{m}:
- Carlos: v_C = 1{,}05 \times 1{,}5 = 1{,}57 \, \text{m/s}; a_{c,C} = 1{,}10 \times 1{,}5 = 1{,}64 \, \text{m/s}^{2}.
- Pablo: v_P = 0{,}52 \times 1{,}5 = 0{,}79 \, \text{m/s}; a_{c,P} = 0{,}55 \times 1{,}5 = 0{,}82 \, \text{m/s}^{2}.
\omega = \dfrac{\pi}{3} \approx 1{,}05 \, \text{rad/s} (igual para ambos); v_C = \dfrac{\pi R}{3} y v_P = \dfrac{\pi R}{6}; a_{c,C} = \dfrac{\pi^{2} R}{9} y a_{c,P} = \dfrac{\pi^{2} R}{18} (con R en metros, v en m/s y a_c en m/s²).
