Un coche de masa m = 50 \, \text{kg} parte desde el reposo en la cima de una rampa de altura h = 8 \, \text{m} e inclinación \theta = 30^\circ. La rampa es rugosa (\mu = 0,2) y la sección horizontal, de 4 \, \text{m}, es lisa (sin rozamiento). Al final hay un resorte de constante k y una colchoneta de parada. Se pide la máxima compresión x del resorte.
Identificación de las fuerzas y del camino
- En la rampa rugosa actúan: el peso mg, la normal N y el rozamiento f_k.
- En la superficie horizontal lisa el rozamiento es nulo (f_k = 0), por lo que el coche recorre los 4 \, \text{m} con energía constante.
- El mecanismo de parada final es un resorte: toda energía cinética restante se transforma en energía elástica \frac{1}{2}kx^{2} (velocidad final cero).
Geometría de la rampa
- La inclinación es 30^\circ y la altura h = 8 \, \text{m}, entonces la longitud de la rampa es
- \sin 30^\circ = \dfrac{h}{L} \Rightarrow L = \dfrac{8 \, \text{m}}{\sin 30^\circ} = \dfrac{8}{0,5} = 16 \, \text{m}.
Energía inicial del coche
- Partiendo del reposo, solo tiene energía potencial gravitatoria:
- E_{\text{inicial}} = mgh = 50 \, \text{kg} \times 9,8 \, \text{m/s}^{2} \times 8 \, \text{m}
- E_{\text{inicial}} = 3920 \, \text{J}.
Trabajo del rozamiento en la rampa rugosa
- En la rampa la normal vale N = mg\cos\theta:
- N = 50 \times 9,8 \times \cos 30^\circ = 490 \times 0,8660 = 424,36 \, \text{N}.
- La fuerza de rozamiento es f_k = \mu N = 0,2 \times 424,36 = 84,87 \, \text{N}.
- El trabajo disipado es W_f = f_k \cdot L = 84,87 \times 16:
- W_f = 1357,9 \, \text{J}.
- En los 4 \, \text{m} horizontales lisos no hay rozamiento, así que W_f' = 0 \, \text{J}.
Energía disponible para el resorte
- Al llegar al resorte el coche posee:
- E_{\text{disponible}} = E_{\text{inicial}} - W_f = 3920 \, \text{J} - 1357,9 \, \text{J}
- E_{\text{disponible}} = 2562,1 \, \text{J}.
- (Comprobación de la velocidad al llegar: E_{\text{disponible}} = \frac{1}{2}mv^{2} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2 \times 2562,1}{50}} = \sqrt{102,48} \approx 10,12 \, \text{m/s}.)
Máxima compresión del resorte
- Con v = 0 al final, toda esa energía se almacena en el resorte:
- \frac{1}{2}kx^{2} = E_{\text{disponible}} = 2562,1 \, \text{J}
- x^{2} = \dfrac{2 \times 2562,1}{k} = \dfrac{5124,2}{k}
- x = \sqrt{\dfrac{5124,2}{k}} \, \text{(metros)}, con k en \text{N/m}.
Selección del resorte comercial (valores típicos)
| k \, (\text{N/m}) | x = \sqrt{5124,2/k} \, (\text{m}) |
|---|---|
| 500 | 3,20 |
| 1000 | 2,26 |
| 2000 | 1,60 |
| 5000 | 1,01 |
Ejemplo: si el carril dispone de 1 \, \text{m} de recorrido para el resorte, se necesita k = \dfrac{5124,2}{1^{2}} = 5124 \, \text{N/m} \approx 5,1 \, \text{kN/m}.
Observación: el enunciado no entrega k numérico (en la figura solo aparece como símbolo); por eso la respuesta se da como expresión x = \sqrt{5124,2/k}, complementada con la tabla para elegir el resorte. Si además el tramo de 4 \, \text{m} fuera rugoso, se perderían \mu mg \cdot d = 0,2 \times 490 \times 4 = 392 \, \text{J} más, y quedaría x = \sqrt{2(2562,1-392)/k} = \sqrt{4340,2/k} (por ejemplo x \approx 2,08 \, \text{m} para k = 1000 \, \text{N/m}).
x = \sqrt{\dfrac{5124}{k}} \, \text{m}, equivalentemente \frac{1}{2}kx^{2} = 2562 \, \text{J} (por ejemplo x \approx 2,26 \, \text{m} si k = 1000 \, \text{N/m}).
