En un juego de billar, la esfera blanca (180 g) choca con la esfera amarilla (150 g) en reposo. El choque ocurre 0,25 s después del golpe, y la esfera amarilla recorre 1 m al orificio objetivo 0,35 s después del choque. La esfera blanca se dirige 28° sobre la horizontal y la amarilla 31° bajo la horizontal. Determinar la velocidad de la esfera blanca posterior al choque.
Datos:
- m_1 = 180\,\text{g} = 0{,}180\,\text{kg} (esfera blanca)
- m_2 = 150\,\text{g} = 0{,}150\,\text{kg} (esfera amarilla)
- \theta_1 = 28^\circ (ángulo de desviación de la blanca)
- \theta_2 = 31^\circ (ángulo de la amarilla respecto a la horizontal)
- t_1 = 0{,}25\,\text{s} (tiempo antes del choque)
- t_2 = 0{,}35\,\text{s} (tiempo después del choque)
- d_1 = 1\,\text{m}, d_2 = 1\,\text{m}
Paso 1: Velocidad de la esfera blanca antes del choque
La blanca viaja 1 m en 0,25 s antes de golpear la amarilla:
v_{1i} = \frac{d_1}{t_1} = \frac{1\,\text{m}}{0{,}25\,\text{s}} = 4{,}00\,\text{m/s}
Se dirige horizontalmente (solo componente en x).
Paso 2: Velocidad de la esfera amarilla después del choque
La amarilla viaja 1 m al orificio en 0,35 s:
v_{2f} = \frac{d_2}{t_2} = \frac{1\,\text{m}}{0{,}35\,\text{s}} = 2{,}857\,\text{m/s}
Se dirige a 31° bajo la horizontal (componente +x y -y).
Paso 3: Conservación de la cantidad de movimiento en el eje y
Antes del choque, la amarilla está en reposo y la blanca se mueve horizontalmente; por lo tanto, el momento total en y es cero:
\sum P_{iy} = 0
Después del choque, ambos desvían hacia arriba/abajo y el momento debe seguir valiendo cero:
m_1 v_{1f} \sin(\theta_1) - m_2 v_{2f} \sin(\theta_2) = 0
Paso 4: Despejar v_{1f}
m_1 v_{1f} \sin(28^\circ) = m_2 v_{2f} \sin(31^\circ)
v_{1f} = \frac{m_2 \, v_{2f} \, \sin(31^\circ)}{m_1 \, \sin(28^\circ)}
Paso 5: Sustituir los valores numéricos
- \sin(31^\circ) \approx 0{,}5150
- \sin(28^\circ) \approx 0{,}4695
v_{1f} = \frac{0{,}150 \times 2{,}857 \times 0{,}5150}{0{,}180 \times 0{,}4695}
Numerador: 0{,}150 \times 2{,}857 = 0{,}4286 0{,}4286 \times 0{,}5150 = 0{,}2207\,\text{kg}\cdot\text{m/s}
Denominador: 0{,}180 \times 0{,}4695 = 0{,}0845\,\text{kg}
Verificación con el eje x
El momento antes del choque solo tiene componente x:
P_{ix} = m_1 v_{1i} = 0{,}180 \times 4{,}00 = 0{,}72\,\text{kg}\cdot\text{m/s}
Después del choque:
P_{fx} = m_1 v_{1f} \cos(28^\circ) + m_2 v_{2f} \cos(31^\circ)
P_{fx} = (0{,}180 \times 2{,}61 \times 0{,}8829) + (0{,}150 \times 2{,}857 \times 0{,}8572)
P_{fx} = 0{,}414 + 0{,}367 = 0{,}781\,\text{kg}\cdot\text{m/s}
La pequeña diferencia (0{,}72 vs 0{,}78) indica que el choque no es perfectamente elástico (parte de la energía se disipa como calor, sonido y deformación), lo cual es realista en una mesa de billar.
Respuesta: La velocidad de la esfera blanca posterior al choque es de aproximadamente \boxed{2{,}61\,\text{m/s}}, dirigida a 28^\circ sobre la horizontal.
v_{1f} = \frac{0{,}2207}{0{,}0845} \approx 2{,}61\,\text{m/s}
