Enunciado: en el cruce de dos carreteras perpendiculares chocan dos vehículos en el punto C; quedan enganchados, se desplazan por el asfalto hasta B y luego por la hierba hasta detenerse en A. Se pide calcular la rapidez de los implicados antes y después del accidente.
Nota: la página 64 sólo presenta el contexto del problema; las actividades concretas (literales) aparecen en la página siguiente. A continuación se desarrolla el procedimiento completo que permite responderlas.
Velocidad del conjunto enganchado justo después del choque (punto C)
El choque esperfectamente inelástico: los dos vehículos quedan enganchados, por lo que se conserva el momento lineal del sistema.
- Sean m_1 y m_2 las masas de los vehículos, con velocidades previas \vec{v}_1 y \vec{v}_2 (perpendiculares entre sí, porque las carreteras lo son).
- Conservación del momento lineal en el eje x (carretera horizontal): m_1 v_{1x} + m_2 v_{2x} = (m_1+m_2) V_{Cx} Como v_{2x}=0: V_{Cx}=\dfrac{m_1 v_1}{m_1+m_2}.
- Conservación del momento lineal en el eje y (carretera vertical): m_2 v_{2y} + m_1 v_{1y} = (m_1+m_2) V_{Cy} Como v_{1y}=0: V_{Cy}=\dfrac{m_2 v_2}{m_1+m_2}.
- Magnitud de la velocidad inmediatamente después del choque: V_C=\sqrt{V_{Cx}^{2}+V_{Cy}^{2}}=\frac{\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2}}{m_1+m_2}
- Dirección: \theta=\arctan\left(\dfrac{V_{Cy}}{V_{Cx}}\right) respecto de la horizontal.
V_C=\dfrac{\sqrt{(m_1v_1)^2+(m_2v_2)^2}}{m_1+m_2} en la dirección \theta que indica la huella de los neumáticos.
Velocidad en el punto C a partir del deslizamiento C → B → A
Se aplica el teorema trabajo–energía en cada tramo, considerando la fuerza de roce f=\mu N=\mu m g.
- Tramo B → A (hierba): la velocidad final en A es v_A=0, coeficiente de roce \mu_b, distancia d_{BA}. W_f=\Delta K \Rightarrow -\mu_b m g\, d_{BA}=0-\tfrac{1}{2}m V_B^{2}
- Despejando la velocidad en B: V_B=\sqrt{2\,\mu_b\, g\, d_{BA}}
- Tramo C → B (asfalto): coeficiente de roce \mu_a, distancia d_{CB}. -\mu_a m g\, d_{CB}=\tfrac{1}{2}m V_B^{2}-\tfrac{1}{2}m V_C^{2}
- Despejando la velocidad en C: V_C=\sqrt{V_B^{2}+2\,\mu_a\, g\, d_{CB}}=\sqrt{2\mu_a g d_{CB}+2\mu_b g d_{BA}}
- Sustituyendo el resultado del paso 2: V_C=\sqrt{2g\left(\mu_a d_{CB}+\mu_b d_{BA}\right)}
V_C=\sqrt{2g\left(\mu_a d_{CB}+\mu_b d_{BA}\right)}.
Velocidades anteriores al accidente (antes del choque)
- Como los vehículos quedaron enganchados, V_C es la velocidad común resultante del choque.
- Despejando de la conservación del momento (paso 9.a), si se conoce una de las velocidades previas: v_1=\frac{(m_1+m_2)V_{Cx}}{m_1},\qquad v_2=\frac{(m_1+m_2)V_{Cy}}{m_2}
- Con los datos numéricos del literal (distancias, \mu y g=9{,}8\;\text{m/s}^{2}) se sustituyen en las fórmulas anteriores para obtener las rapideces en m/s, que se pueden convertir a km/h multiplicando por 3{,}6.
las velocidades previas se obtienen despejando la conservación del momento lineal una vez calculada V_C con el trabajo de la fricción.
Idea física central
Respuesta orientativa: durante el deslizamiento la fricción transforma toda la energía cinética en calor, de modo que midiendo las huellas y conociendo los coeficientes de roce se reconstruye la velocidad en el momento del impacto; a su vez, la conservación del momento lineal permite repartir esa velocidad entre los dos vehículos y deducir sus rapideces previas al choque, clave para determinar si respetaban el límite legal.
