La ecuación general de la posición para un cuerpo con aceleración constante es:

y(t) = y_{0} + v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2}

1. Identificamos las condiciones del movimiento: el cuerpo se mueve verticalmente bajo la acción de la gravedad, con a = -g = -9{,}8 \, \text{m/s}^{2} (tomo el eje y positivo hacia arriba).
2. Sustituyo la aceleración en la ecuación general:

y(t) = y_{0} + v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}

3. Con g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}, queda \frac{1}{2}g = 4{,}9 \, \text{m/s}^{2}:

\boxed{y(t) = y_{0} + v_{0}t - 4{,}9t^{2}}

4. Verificación del signo de la aceleración: en t = 0 se obtiene y(0) = y_{0} (posición inicial correcta) y la rapidez es v(0) = v_{0}, ya que v(t) = \dfrac{dy}{dt} = v_{0} - 9{,}8t.

La rapidez depende de la posición, no del tiempo, así que uso la relación cinemática que elimina t:

v^{2} = v_{0}^{2} + 2a\Delta y

1. Sustituyo a = -g y \Delta y = y - y_{0}:

v^{2} = v_{0}^{2} - 2g\left(y - y_{0}\right) = v_{0}^{2} + 2g\left(y_{0} - y\right)

2. Sustituyo y = 22{,}7 \, \text{m} y g = 9{,}8 \, \text{m/s}^{2}:

v^{2} = v_{0}^{2} + 2(9{,}8)\left(y_{0} - 22{,}7\right)

v^{2} = v_{0}^{2} + 19{,}6\left(y_{0} - 22{,}7\right)

3. La rapidez es el módulo de la rapidez vectorial, es decir, la raíz positiva:

\boxed{v = \left|\sqrt{v_{0}^{2} + 19{,}6\left(y_{0} - 22{,}7\right)}\right| \, \text{m/s}}

4. Caso particular relevante: si 22{,}7 \, \text{m} es justo la altura inicial (y_{0} = 22{,}7 \, \text{m}), entonces y_{0} - 22{,}7 = 0 y

v = \sqrt{v_{0}^{2}} = v_{0}

es decir, la rapidez en el punto de partida es exactamente la rapidez inicial v_{0}.

1. Defino la condición del piso: el piso corresponde a la posición y = 0 \, \text{m}, porque la altura de referencia se mide desde el suelo hacia arriba.
2. Aplico la ley de conservación de la energía (equivalente a la ecuación cinemática con v^{2} = v_{0}^{2} + 2g(y_{0} - y)) tomando y = 0:

v^{2} = v_{0}^{2} + 2gy_{0}

3. Despejo la altura inicial, que es precisamente la altura total medida desde el piso:

\boxed{y_{0} = \frac{v^{2} - v_{0}^{2}}{2g} = \frac{v_{2}^{2} - v_{0}^{2}}{19{,}6}}

4. Justificación: como el origen del eje vertical (y = 0) es el piso, cualquier posición y es ya la altura sobre el suelo; por lo tanto la altura total hasta el piso es exactamente el valor y_{0} que aparece como término independiente en la ecuación y(t) = y_{0} + v_{0}t - 4{,}9t^{2}.
5. Tiempo de caída hasta el piso (dato útil para el gráfico): impongo y(t) = 0:

0 = y_{0} + v_{0}t - 4{,}9t^{2} \Rightarrow 4{,}9t^{2} - v_{0}t - y_{0} = 0

Aplico la fórmula general:

t = \frac{v_{0} + \sqrt{v_{0}^{2} + 19{,}6\,y_{0}}}{9{,}8}

(se toma el signo + porque el tiempo debe ser positivo).

Comentario sobre las gráficas de la página

Cada cuadrícula vacía está destinada a graficar y(t): el eje horizontal es el tiempo t y el eje vertical es la posición y. Como y(t) es una parábola con coeficiente de t^{2} negativo (-4{,}9), la curva es una parábola que sube hasta el vértice en

t_{v} = \frac{v_{0}}{2g} = \frac{v_{0}}{19{,}6}, \qquad y_{máx} = y_{0} + \frac{v_{0}^{2}}{2g} = y_{0} + \frac{v_{0}^{2}}{19{,}6}

y luego desciende hasta cortar el eje y en y_{0} y el eje t en el tiempo de caída calculado en el ítem c).