Desafío (Proyecto): Diseñar un experimento para explorar el lanzamiento vertical de un objeto, centrándose en cómo la gravedad afecta el movimiento ascendente y descendente, y aplicando las ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
Recursos necesarios
Pelota de goma, regla o cinta métrica, cronómetro (o reloj con temporizador) y una superficie vertical segura para lanzar.
Pasos del experimento (procedimiento)
- Preparación: mido y registro la altura h_{0} desde la cual se lanzará la pelota, asegurándome de que esté en reposo en ese punto.
- Lanzamiento ascendente: lanzo la pelota verticalmente hacia arriba desde la altura medida e inicio el cronómetro en el instante del lanzamiento.
- Lanzamiento descendente: registro el tiempo t_{\text{vuelo}} que tarda la pelota en regresar al punto de lanzamiento y observo el comportamiento del descenso.
- Registro de datos: mido y anoto la altura máxima h_{\text{máx}} alcanzada por la pelota.
- Análisis: aplico las ecuaciones del MRUA con a=-g (tomando hacia arriba como positivo) para calcular v_{0}, h_{\text{máx}} y t_{\text{vuelo}}.
Análisis de datos (modelo MRUA)
Ecuaciones generales del MRUA con a=-g=-9{,}81\,\text{m/s}^{2}:
v_{f}=v_{0}-gt
h=h_{0}+v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}
v_{f}^{2}=v_{0}^{2}-2g\left(h-h_{0}\right)
Cálculo de la velocidad inicial. En el punto más alto la velocidad vale cero (v_{f}=0), por lo tanto:
0=v_{0}-gt_{\sub{\text{subida}}}\quad\Rightarrow\quad v_{0}=g\,t_{\sub{\text{subida}}}
De la ecuación de posición:
0=v_{0}t_{\sub{\text{subida}}}-\frac{1}{2}g\,t_{\sub{\text{subida}}}^{2}\quad\Rightarrow\quad v_{0}=\frac{1}{2}g\,t_{\sub{\text{subida}}}
Cálculo de la altura máxima (con respecto al punto de lanzamiento): usando v_{f}^{2}=v_{0}^{2}-2g\Delta h con v_{f}=0:
0=v_{0}^{2}-2g\,h_{\sub{\text{máx}}}\quad\Rightarrow\quad h_{\sub{\text{máx}}}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}
Cálculo del tiempo total de vuelo: la subida y la bajada duran lo mismo (movimiento simétrico, desprecia el rozamiento):
t_{\sub{\text{vuelo}}}=2t_{\sub{\text{subida}}}=\frac{2v_{0}}{g}
Ejemplo numérico resuelto
Se lanza la pelota desde una altura de h_{0}=1{,}50\,\text{m} y la pelota tarda t_{\sub{\text{vuelo}}}=2{,}40\,\text{s} en regresar al punto de lanzamiento. Hallar v_{0} y h_{\sub{\text{máx}}} (altura total).
- Tiempo de subida:
t_{\sub{\text{subida}}}=\frac{t_{\sub{\text{vuelo}}}}{2}=\frac{2{,}40}{2}=1{,}20\,\text{s}
- Velocidad inicial (en el punto más alto v=0):
v_{0}=g\,t_{\sub{\text{subida}}}=9{,}81\times 1{,}20=11{,}77\,\text{m/s}
- Altura máxima sobre el punto de lanzamiento:
h_{\sub{\text{máx}}}=\frac{v_{0}^{2}}{2g}=\frac{(11{,}77)^{2}}{2\times 9{,}81}=\frac{138{,}5}{19{,}62}=7{,}06\,\text{m}
- Altura total desde el suelo:
H=h_{0}+h_{\sub{\text{máx}}}=1{,}50+7{,}06=8{,}56\,\text{m}
- Verificación: la velocidad al bajar al punto de lanzamiento debe ser igual en módulo a la de salida (con signo negativo):
v_{f}=v_{0}-gt_{\sub{\text{vuelo}}}=11{,}77-9{,}81\times 2{,}40=11{,}77-23{,}54=-11{,}77\,\text{m/s}\ \checkmark
Paso 2
Reflexión: Evaluar el comportamiento de la pelota durante el lanzamiento ascendente y descendente y explicar cómo las ecuaciones del MRUA explican el movimiento vertical.
Respuesta orientativa:
- Durante la subida la velocidad inicial es positiva y la aceleración -g la hace disminuir uniformemente hasta cero: es un MRUA con aceleración constante hacia abajo.
- Durante la bajada la velocidad es negativa y crece en módulo a razón de g por segundo: sigue siendo el mismo MRUA, con las mismas ecuaciones.
- El movimiento es simétrico: para la misma altura, v_{\sub{\text{bajar}}} es igual en módulo y opuesta en dirección a v_{\sub{\text{subir}}}, y el tiempo de subida es igual al de bajada.
- Las tres ecuaciones del MRUA (v_{f}=v_{0}+at, h=h_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^{2}, v_{f}^{2}=v_{0}^{2}+2a\Delta h) con a=-g explican y predicen todo el vuelo.
