**Según el CE.CN.F.5.8, identifica las energías que intervienen en un resorte horizontal y en uno vertical suspendido, sin fricción.**

E_horizontal = 1/2mv^2 + 1/2kx^2; E_vertical = 1/2mv^2 + 1/2k(x-x_0)^2 + mgy = cte

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

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Tema 7: Movimiento armónico simple — portada de unidad

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Respuesta rápida

Péndulo simple: para ángulos pequeños realiza un MAS, θ(t) = θ₀cos(ωt + δ) con ω = √(g/L); sin fricción su energía mecánica se conserva.

fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 92

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Enfoque de la página

La página no presenta ejercicios numéricos: es la portada de apertura del Tema 7: Movimiento armónico simple. Contiene (a) la gráfica introductoria de la posición en función del tiempo, (b) el criterio de evaluación, (c) el objetivo del curso y (d) los "Saberes previos", que sí son preguntas abiertas que se responden a continuación.

Gráfica: el MAS como función cosenoidal

El sistema oscilatorio (masa–muelle, péndulo pequeño, circuito LC) posee una posición que se repite en el tiempo:

$x(t) = A \cos(\omega t)$

$A$ = amplitud (desplazamiento máximo, valor de $x$ en $t=0$ en la gráfica).
$\omega$ = frecuencia angular; se relaciona con el período $T$ por $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ .
$T$ = período, que está marcado en la curva entre dos crestas consecutivas.
$\delta$ = fase inicial; cuando la onda está desplazada en el tiempo,

$x(t) = A \cos(\omega t + \delta)$

Las condiciones de contorno de la ecuación diferencial del MAS son $x(0) = x_0$ y $v(0) = v_0$ .

Saberes previos — respuestas orientativas

Ejercicio 1

¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como "hacia adelante y hacia atrás"?

Sí: ejemplos cotidianos son el péndulo de un reloj, el émbolo de una bomba de bicicleta, las cuerdas de una guitarra o de un piano, un columpio y la vibración de un muelle comprimido y liberado. En todos ellos un cuerpo pasa repetidamente por las mismas posiciones, con desplazamiento máximo $A$ en ambos sentidos respecto de una posición de equilibrio, que es la característica distintiva del movimiento armónico simple.

Ejercicio 2

¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Un péndulo simple oscila alrededor de su posición de equilibrio (vertical) con un ángulo pequeño; para $\theta \ll 1 \text{ rad}$ el componente de la fuerza restauradora es $F = -mg\sin\theta \approx -mg\theta$ , que es proporcional al desplazamiento, exactamente como la ley de Hooke $F = -kx$ . Por lo tanto el péndulo realiza un MAS descrito por $\theta(t) = \theta_0\cos(\omega t + \delta)$ con $\omega = \sqrt{g/L}$ . Si el ángulo crece (más de unos $10^ ext{\circ}$ ), el seno deja de ser lineal y el movimiento deja de ser armónico.

Criterio de evaluación (CE.CN.F.5.8) — ideas clave

Situación	Fuerzas	Energía	Resultado
Resorte horizontal sin fricción	$F_{elástica} = -kx$ (conservadora)	$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ (constante)	Convierte energía potencial elástica en cinética y viceversa
Resorte vertical sin fricción	$F_{elástica} + P = mg$	$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}k(x-x_0)^2 + mg y$ (constante)	La amplitud se mide respecto de la nueva posición de equilibrio
MCU (referencial no inercial)	$F_c = m\dfrac{v^2}{r}$ ; la "fuerza centrífuga" es ficticia	$E = \frac{1}{2}mv^2 + U(r)$	En el marco rotante aparece la fuerza centrífuga para conservar la energía

Conclusión: en los dos sistemas, la energía mecánica total se conserva porque la única fuerza que hace trabajo (o la suma de fuerzas conservativas) es restauradora y reversible.

Respuesta

La página introduce el MAS mediante $x(t) = A\cos(\omega t + \delta)$ ; los "Saberes previos" se responden con ejemplos cotidianos de oscilación y con la analogía péndulo–muelle bajo la condición de ángulos pequeños.

Contenido de la página

TEMA 7: Movimiento armónico simple

Gráfica de la posición en función del tiempo para un oscilador armónico:

$x(t) = A\cos\omega t$ (partiendo de la amplitud en $t=0$ )
$x(t) = A\cos(\omega t + \delta)$ (con fase inicial $\delta$ )

Criterios de evaluación

CE.CN.F.5.8. Argumenta, experimentalmente, las magnitudes que intervienen en el MAS cuando un resorte se comprime o estira (sin considerar las fuerzas de fricción), a partir de las fuerzas involucradas en MCU (la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia) y la conservación de la energía mecánica cuando el resorte está en posición horizontal o suspendido verticalmente, mediante la identificación de las energías que intervienen en cada caso.

Objetivos

OG.CN.10. Apreciar la importancia de la formación científica, los valores y actitudes propios del pensamiento científico, y adoptar una actitud crítica y fundamentada ante los grandes problemas que hoy plantean las relaciones entre ciencia y sociedad.

Saberes previos

¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como "hacia adelante y hacia atrás"?
¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Fuente de la figura: W.W. (Wolfram/World Wide). Página 91 del Texto de Física.

Ejemplos resueltos

De la gráfica introductoria del Tema 7 se observa una curva cosenoidal de amplitud $A$ que se repite cada $T$ . ¿Cuál es la frecuencia angular de ese oscilador?

La gráfica es $x(t) = A\cos(\omega t)$ , cuya amplitud es $A$ .
La marca roja $T$ en el eje horizontal indica el periodo.
Aplico la relación $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ . Respuesta: $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$ rad/s.

Tablas (2)

Parámetro	Símbolo	Significado	Relación
Amplitud	A	Desplazamiento máximo	valor de x en los extremos
Periodo	T	Tiempo de una oscilación	lectura directa de la gráfica
Frecuencia angular	ω	Radianes por segundo	ω = 2π/T
Frecuencia	f	Oscilaciones por segundo	f = 1/T
Fase inicial	δ	Desplazamiento en t=0	argumento adicional de la cosenoidal

Situación	Fuerza dominante	Energías	Conservación
Resorte horizontal sin fricción	F = -kx	cinética + potencial elástica	sí
Resorte vertical sin fricción	F = -kx + mg	cinética + potencial elástica + gravitatoria	sí
MCU (referencial inercial)	F = mv²/r	cinética	sí
MCU (referencial rotante)	+ fuerza centrífuga ficticia	cinética + energía potencial eficaz	sí (con el término ficticio)

Diagrama

graph TD
    A[Movimiento armónico simple] --> B[Masa-spring horizontal: F = -kx]
    A --> C[Péndulo simple: F ≈ -mgθ, θ pequeño]
    A --> D[Circuito LC: oscilaciones eléctricas]
    B --> E[Energía: E = ½mv² + ½kx² = cte]
    C --> F[Periodo: T = 2π√(L/g)]
    E --> G[Descripción cosenoidal]
    F --> G
    G --> H[x(t) = A cos(ωt + δ)]

Fórmulas y ecuaciones

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\delta)$

$\omega$ = $\frac{2\pi}{T}$

E = $\frac{1}{2}@@MATH_0@@kx^2$ = $\text{constante}$

$\omega$ = $\sqrt{g/L}$ $\text{ (péndulo simple, ángulos pequeños)}$

x(t) = A $\cos(\omega$ t)

x(t) = A $\cos(\omega$ t + $\delta)$

$\omega$ = $\frac{2\pi}{T}$ = $2\pi$ f

$F_{el$ $\acute{a}$ stica} = -kx

E = $\frac{1}{2}@@MATH_0@@kx^2$

$\omega_{p$ $\acute{e}$ ndulo} = $\sqrt{\frac{g}{L}}$

$\theta(t)$ = $\theta_0$ $\cos(\omega$ t + $\delta)$

$F_c$ = m $\frac{v^2}{r}$

Glosario (7)

Movimiento armónico simple (MAS): Oscilación periódica en la que la fuerza restauradora es proporcional y opuesta al desplazamiento, de modo que la posición varía según una función senoidal o cosenoidal.
Amplitud (A): Valor máximo del desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.
Periodo (T): Tiempo que tarda el sistema en completar una oscilación completa.
Frecuencia angular (ω): Número de radianes recorridos por segundo; se relaciona con el período por ω = 2π/T.
Fase inicial (δ): Desplazamiento angular inicial que indica por dónde comienza la oscilación en t = 0.
Fuerza restauradora: Fuerza dirigida hacia la posición de equilibrio y proporcional al desplazamiento, como F = -kx en la ley de Hooke.
Energía mecánica: Suma de energía cinética y potencial; se conserva en un oscilador sin fricción.

Preguntas para practicar

¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como "hacia adelante y hacia atrás"?

Sí: péndulos de reloj, columpios, cuerdas de instrumentos, émbolos de bomba de bicicleta y muelles. Todos pasan repetidamente por las mismas posiciones alrededor de un equilibrio, con desplazamiento máximo A en ambos sentidos: un MAS.

¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Para ángulos pequeños el péndulo sufre una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento (F ≈ -mgθ), igual que la ley de Hooke; por eso realiza un MAS con θ(t) = θ₀cos(ωt + δ) y ω = √(g/L).

¿Por qué la fuerza centrífuga se considera ficticia en el análisis del MAS vinculado al MCU?

No tiene origen en ninguna interacción física: surge de trabajar en un referencial no inercial que rota. En el marco inercial inercial solo actúan fuerzas reales como la tensión o la elástica; al expresar la ecuación en el marco rotante aparece la fuerza centrífuga mv²/r para conservar la energía del sistema.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simpleFunción cosenoidal de la posiciónAmplitud y períodoCriterio de evaluación sobre resorte y energía mecánicaSaberes previos sobre oscilacionesMASamplitud Afrecuencia angular ωperiodo Tfase inicial δposición de equilibriofuerza restauradoraenergía mecánica conservadafuerza centrífuga ficticia

Fuentes y referencias

Wolfram (W.W.) — fuente citada de la gráfica cosenoidal del tema

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Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el movimiento armónico simple y cuál es su ecuación general?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se relaciona el período de un péndulo simple con su longitud y la gravedad?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Qué fuerzas actúan en un resorte horizontal y cómo se conserva la energía mecánica?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Concepto de función coseno
• Segunda ley de Newton (F = ma)
• Energía cinética y potencial
• Teorema de conservación de la energía
• Nociones de MCU (periodo, velocidad tangencial, aceleración centrípeta)

Siguiente tema sugerido

Ecuación diferencial del MAS, ecuación de movimiento x(t) = x₀cos(ωt) + (v₀/ω)sen(ωt) y energía del oscilador armónico.

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TEMA 7:

Movimiento armónico

x(t) A é $ X(t) = A cos wt

Fuente: WW

CRITERIOS DE EVALUACION

CE.CN.F.5.8. Argumenta, experimentalmente, las magnitudes que intervienen en el MAS cuando un resorte se comprime o estira (sin considerar las fuerzas de fricción), a partir de las fuerzas involucradas en MCU (la fuerza centrífuga es una fuerza ficticia) y la conservación de la energía mecánica cuando el resorte está en posición horizontal o suspendido verticalmente, mediante la identificación de las energías que intervienen en cada caso.

OBJETIVOS

OG.CN.10. Apreciar la importancia de la formación científica, los valores y actitudes propios del pensamiento científico, y, adoptar una actitud crítica y fundamentada ante los grandes problemas que hoy plantean las relaciones entre ciencia y sociedad.

Saberes previos ¿Alguna vez has experimentado un movimiento que podría describirse como "hacia adelante y hacia atrás"? ¿Cómo crees que un péndulo simple se relaciona con el movimiento armónico simple?

Texto de Física \ ‘9,

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