Leo el problema sobre el movimiento armónico simple y explico, a partir de las figuras, la relación entre el movimiento circular uniforme y la oscilación de un resorte; determino también las magnitudes que caracterizan al movimiento armónico simple.

Libro de Física 3 BGU

Ministerio de Educación del Ecuador

93/273

Movimiento armónico simple: proyección del movimiento circular y un muelle

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 93

93 de 273

Anterior Página 93 / 273 Siguiente

Respuesta rápida

Actividad introductoria: las figuras relacionan el movimiento circular uniforme y el resorte con el MAS; las magnitudes que lo caracterizan son $A$ , $T$ , $f$ y $\omega$ , con $a = -\omega^{2}x$ y $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ ; la aceleración varía porque es proporcional al desplazamiento. El problema completo se desarrolla en la página 94.

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 93

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Enunciado (actividad introductoria): Leo el problema sobre el movimiento armónico simple y observo las figuras que relacionan el movimiento circular uniforme con el movimiento de un resorte, y luego realizo las actividades que siguen.

Parte 1.a

¿Qué relación establecen las figuras entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple?

La figura de la izquierda representa un cuerpo que gira en trayectoria circular uniforme (flechas curvas) y cuya sombra proyectada sobre el plano vertical derecho (flechas rojas) se desplaza en línea recta a lo largo de una dirección.
La proyección del movimiento circular sobre un diámetro reproduce un movimiento unidireccional, repetitivo, periódico y oscilatorio: es decir, un MAS.
La aceleración del MAS es variable en dirección y sentido, a diferencia de la cinemática uniforme, y es proporcional y opuesta al desplazamiento respecto de la posición de equilibrio: $a = -\omega^{2} x$ .
El vínculo con el resorte es análogo: al desplazar la masa unida a un muelle respecto de su posición de equilibrio aparece una fuerza restauradora proporcional a ese desplazamiento, $F = -k x$ .
Aplicando la segunda ley de Newton a la masa $m$ : $F = m a \Rightarrow m a = -k x$ , de donde $a = -\left(\dfrac{k}{m}\right) x$ , que tiene la forma del MAS con $\omega^{2} = \dfrac{k}{m}$ .
Se concluye que la oscilación de un muelle y la proyección de un movimiento circular uniforme son dos manifestaciones del mismo movimiento: el movimiento armónico simple.

Respuesta

Las figuras muestran que la sombra del movimiento circular uniforme sobre un diámetro (y también la masa unida a un resorte) producen un movimiento repetitivo, periódico y oscilatorio con aceleración variable, es decir, un movimiento armónico simple; en ambos casos el movimiento obedece a $a = -\omega^{2} x$ .

Parte 1.b

¿Qué magnitudes caracterizan al movimiento armónico simple?

Amplitud ( $A$ ): máxima distancia respecto de la posición de equilibrio.
Periodo ( $T$ ): tiempo que tarda el oscilador en completar un ciclo completo.
Frecuencia ( $f$ ): número de ciclos por unidad de tiempo; $f = \dfrac{1}{T}$ .
Frecuencia angular ( $\omega$ ): $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ para un muelle.
Desplazamiento, velocidad y aceleración como funciones del tiempo, tomando $x(0) = A$ : $x(t) = A \cos(\omega t)$ $v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\,\omega \sin(\omega t)$ $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^{2} \cos(\omega t) = -\omega^{2} x(t)$
Periodo del resorte: de $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ y $T = \dfrac{2\pi}{\omega}$ se obtiene: $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$
Verificación de consistencia: la aceleración máxima ocurre en los extremos ( $x = \pm A$ ) y vale $a_{\text{máx}} = \omega^{2} A$ ; en el equilibrio ( $x = 0$ ) la aceleración se anula y la velocidad es máxima, $v_{\text{máx}} = \omega A$ . Esto confirma la relación $a = -\omega^{2}x$ .

Respuesta

Amplitud $A$ , periodo $T$ , frecuencia $f$ , frecuencia angular $\omega$ y las leyes $x = A\cos(\omega t)$ , $v = -A\omega\sin(\omega t)$ y $a = -\omega^{2}x$ , con $\omega = \sqrt{k/m}$ y $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ para el resorte.

Parte 1.c

¿Por qué se dice que el MAS posee una aceleración variable?

Desde $a = -\omega^{2} x$ se observa que la aceleración depende de la posición instantánea $x$ del oscilador.
Como $x$ cambia continuamente entre $-A$ y $+A$ durante cada ciclo, la aceleración también cambia de módulo y de dirección de forma continua.
En los extremos del movimiento ( $x = \pm A$ ) la aceleración alcanza su máximo valor, $a_{\text{máx}} = \omega^{2} A$ , dirigida siempre hacia el equilibrio.
En el punto de equilibrio ( $x = 0$ ) la aceleración es nula, aunque la velocidad es máxima.
Esto distingue al MAS de la velocidad y aceleración constantes del movimiento rectilíneo uniforme o del movimiento circular uniforme (módulo constante, solo cambia la dirección).

Respuesta

Porque la aceleración es proporcional y opuesta al desplazamiento ( $a = -\omega^{2} x$ ) y, al variar $x$ durante el ciclo, $a$ varía continuamente de módulo y dirección, siendo máxima en los extremos ( $\omega^{2}A$ ) y nula en el equilibrio.

Parte 1.d

Explico el significado de la fuente citada en la página

La página indica la fuente $\text{https://n9.cl/r0i83}$ junto a las figuras.
Este enlace apunta al material didáctico donde se obtuvieron las ilustraciones que muestran la proyección del movimiento circular uniforme y el sistema resorte-masa.
Su uso permite al estudiante complementar la visualización animada del fenómeno y comprobar cómo la sombra de un punto en rotación describe una oscilación simple.

Respuesta

Es la referencia bibliográfica de las imágenes que muestran la relación entre movimiento circular uniforme y movimiento armónico simple; permite al estudiante consultar el material gráfico original para visualizar la proyección y la oscilación del resorte.

Contenido de la página

ACTIVIDADES

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

El movimiento armónico simple posee una aceleración variable y nace del análisis de la reflexión del movimiento circular junto con el movimiento de un resorte, en el que se puede observar un movimiento repetitivo, periódico y oscilatorio, durante un intervalo de tiempo.

![Figura 1: un cuerpo que gira en círculo y cuya proyección sobre un plano vertical describe un oscilación lineal; a la derecha, un resorte vertical con $masa](figura_circular_y_resorte)$

Fuente: https://n9.cl/r0i83

Notas para la resolución

La figura de la izquierda muestra un punto que describe un movimiento circular uniforme y cuya sombra sobre el plano vertical derecho se desplaza a lo largo de una línea recta, con movimiento periódico y oscilatorio: la proyección del movimiento circular uniforme es un movimiento armónico simple.
La figura de la derecha representa un sistema resorte-masa: al desplazar la masa respecto de su posición de equilibrio aparece una fuerza restauradora $F = -kx$ (ley de Hooke) que origina un MAS.
Ambos fenómenos comparten la ecuación diferencial $a = -\omega^{2} x$ ; en el resorte $\omega = \sqrt{k/m}$ y $T = 2\pi\sqrt{m/k}$ .

Nota de la página: el problema completo con sus actividades de cálculo se presenta en la página siguiente (página 94), ya que esta página es la introducción de la sección.

Ejemplos resueltos

Una masa de $0{,}25\,\text{kg}$ unida a un muelle de constante $k = 100\,\text{N/m}$ se desplaza y oscila. Calcular la frecuencia angular y el periodo del MAS.

Frecuencia angular: $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{100\,\text{N/m}}{0{,}25\,\text{kg}}} = \sqrt{400} = 20\,\text{rad/s}$ .
Periodo: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{20} \approx 0{,}314\,\text{s}$ .
Frecuencia: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{20}{2\pi} \approx 3{,}18\,\text{Hz}$ .
Verificación: al sustituir en $\omega = 2\pi f$ se obtiene $2\pi(3{,}18) \approx 20\,\text{rad/s}$ , lo que confirma el cálculo.

Respuesta: $\omega \approx 20\,\text{rad/s}$ , $T \approx 0{,}314\,\text{s}$ , $f \approx 3{,}18\,\text{Hz}$ .

Tabla

Magnitud	Símbolo	Unidad (SI)	Relación en el resorte-masa
Amplitud	$A$	$\text{m}$	Máximo desplazamiento desde el equilibrio
Periodo	$T$	$\text{s}$	$T = 2\pi\sqrt{m/k}$
Frecuencia	$f$	$\text{Hz}$	$f = 1/T = \dfrac{1}{2\pi}\sqrt{k/m}$
Frecuencia angular	$\omega$	$\text{rad/s}$	$\omega = \sqrt{k/m}$
Desplazamiento	$x$	$\text{m}$	$x = A\cos(\omega t)$
Velocidad	$v$	$\text{m/s}$	$v = -A\omega\sin(\omega t)$
Aceleración	$a$	$\text{m/s}^{2}$	$a = -\omega^{2}x$

Diagrama

flowchart LR
    A[Movimiento circular uniforme<br/>velocidad angular constante] -->|Proyección sobre un diámetro / plano| B[Movimiento armónico simple<br/>x = A cos(ωt)]
    C[Fuerza restauradora<br/>F = -k x] -->|Segunda ley de Newton<br/>ma = -kx| B
    B --> D[aceleración variable<br/>a = -ω² x]
    B --> E[Magnitudes:<br/>amplitud A, periodo T, frecuencia f, ω]

Fórmulas y ecuaciones

$a = -\omega^{2} x$ (ecuación fundamental del MAS)

$x(t) = A\cos(\omega t)$

$T = 2\pi\sqrt{m/k}$ para el sistema resorte-masa

$\omega = 2\pi f = \sqrt{k/m}$

F = -k x

a = $-\omega^{2}$ x

x(t) = A $\cos(\omega$ t)

v(t) = $-A\,\omega$ $\sin(\omega$ t)

a(t) = $-A\,\omega^{2}$ $\cos(\omega$ t)

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

T = $\frac{2\pi}{\omega}$ = $2\pi$ $\sqrt{\frac{m}{k}}$

f = $\frac{1}{T}$

Glosario (8)

Movimiento armónico simple (MAS): Movimiento repetitivo, periódico y oscilatorio cuya aceleración es variable y proporcional al desplazamiento respecto del equilibrio: $a = -\omega^{2}x$.
Posición de equilibrio: Posición en la que el oscilador no experimenta fuerza neta restauradora; en un resorte-masa corresponde al muelle sin estirar ni comprimir.
Fuerza restauradora: Fuerza que siempre tiende a devolver al cuerpo a su posición de equilibrio; en un resorte vale $F = -k x$ (ley de Hooke).
Amplitud ($A$): Máxima distancia entre el oscilador y su posición de equilibrio, medida en metros.
Periodo ($T$): Tiempo que tarda el oscilador en completar un ciclo completo; se mide en segundos.
Frecuencia ($f$): Número de ciclos completos por unidad de tiempo: $f = 1/T$; se mide en hertz (Hz).
Frecuencia angular ($\omega$): Radianes recorridos por unidad de tiempo: $\omega = 2\pi f = 2\pi/T$; en un resorte $\omega = \sqrt{k/m}$.
Proyección del movimiento circular uniforme: Sombra de un punto en rotación sobre un diámetro o plano perpendicular, la cual describe un MAS.

Preguntas para practicar

¿Qué relación se establece entre el movimiento circular uniforme y el movimiento armónico simple según las figuras?

La proyección o sombra de un punto que describe un movimiento circular uniforme sobre un diámetro o plano perpendicular es un movimiento armónico simple: repetitivo, periódico y oscilatorio. El punto gira con velocidad angular constante, pero su sombra se desplaza en línea recta con aceleración variable dada por $a = -\omega^{2}x$; esta es la forma de generar el MAS a partir del análisis del movimiento circular.

¿Qué papel desempeña el resorte en el origen del movimiento armónico simple?

Al desplazar una masa unida a un resorte respecto de su posición de equilibrio aparece una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento y dirigida hacia el equilibrio, $F = -kx$ (ley de Hooke). Por la segunda ley de Newton, $ma = -kx$, es decir $a = -(k/m)x$, que tiene la forma del MAS con $\omega = \sqrt{k/m}$ y $T = 2\pi\sqrt{m/k}$; de ahí que el oscilador resorte-masa sea el ejemplo canónico del movimiento armónico simple.

¿Por qué se afirma que la aceleración del movimiento armónico simple es variable?

Porque la aceleración depende de la posición instantánea del oscilador: $a = -\omega^{2}x$. Como $x$ varía continuamente entre $-A$ y $+A$ durante cada ciclo, el módulo y la dirección de la aceleración cambian de forma continua; es máxima en los extremos ($a_{\text{máx}} = \omega^{2}A$) y nula en la posición de equilibrio, donde la velocidad es máxima.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simpleProyección del movimiento circular uniformeOscilación de un muelleAceleración variable en el MASmovimiento armónico simpleaceleración variableposición de equilibriofuerza restauradoraamplitudperiodofrecuenciafrecuencia angularresorte

Fuentes y referencias

https://n9.cl/r0i83

¿Te fue útil esta página?

Figuras de la página (1)

Plano vertical rectangular con una línea vertical central y una flecha roja de doble punta que indica el desplazamiento oscilatorio; dentro se observa un pequeño objeto amarillo (la masa o su sombra) y una línea de puntos que marca la posición de equilibrio. — Figura 2 image

Preguntas que la gente también hace

¿Qué es el movimiento armónico simple y cómo se relaciona con el movimiento circular uniforme?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cuáles son las ecuaciones que describen el desplazamiento, la velocidad y la aceleración en un MAS?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

¿Cómo se calcula el periodo de un muelle con una masa conectada a él?

Consulta la solución completa arriba o explora el libro entero para temas relacionados.

📌 Antes de leer esto

• Derivadas simples (regla de potencias y regla de la cadena) para derivar desplazamiento y velocidad
• Segunda ley de Newton y fuerza restauradora
• Movimiento circular uniforme: velocidad angular, velocidad tangencial y aceleración centrípeta
• Relación entre velocidad angular y frecuencia

Siguiente tema sugerido

Resolución del problema planteado (página 94) sobre magnitudes del movimiento armónico simple de un resorte: amplitud, periodo, frecuencia y energía del oscilador.

📝 Transcripción de la página (texto seleccionable) 407 caracteres

"ACTIVIDADES )

Leo el siguiente problema y realizo las actividades a continuación:

El movimiento armónico simple posee una aceleración variable y nace del análisis de la reflexión del movimiento circular junto con el movimiento de un resorte, en el que se puede observar un movimiento repetitivo, periódico y oscilatorio, durante un intervalo de tiempo.

Fuente: https://n9.cl/r0183

92 Texto de Física

Páginas cercanas