Ministerio de Educación del Ecuador

95/273

Mecánica armónica: vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración en un resorte vertical

📄 teoria fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

Página 95

95 de 273

Anterior Página 95 / 273 Siguiente

Respuesta rápida

Segunda foto: x pequeño, v máxima, a ≈ 0. Tercera foto: x máximo, v = 0, a máxima hacia el equilibrio. General: a = −ω²x, con v adelantando 90° a x.

📚 theory fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 4 min lectura

Solución — Página 95

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

Explicación de la página

La página presenta dos fotografías de un sistema masa-resorte vertical (una masa suspendida de un resorte) en dos instantes distintos del movimiento armónico simple (MAS). Junto a la masa se dibuja un círculo de referencia (o círculo de proyección), herramienta clásica para representar el MAS como proyección del movimiento circular uniforme. Los vectores se codifican por color:

Rojo: desplazamiento $\vec{x}$ respecto de la posición de equilibrio.
Azul: velocidad $\vec{v}$ , tangente al círculo.
Negro: aceleración $\vec{a}$ , dirigida siempre hacia el centro del círculo (centrípeta).

Ejercicio 1

Segunda fotografía (posición cerca del punto de equilibrio)

En este instante la masa pasa por la zona central del recorrido: el desplazamiento $\vec{x}$ es pequeño y apunta hacia abajo. Como la velocidad del MAS es máxima al pasar por el equilibrio, el vector velocidad (azul) es largo y, en el círculo de referencia, es tangente y horizontal: la proyección horizontal del punto del círculo es máxima.

La aceleración (negro) es mínima (casi nula) porque

$a = -\frac{k}{m}\,x$

y con $x \approx 0$ se obtiene $a \approx 0$ . Los vectores se ordenan entonces así: $v$ máximo, $a$ mínimo, $x$ mínimo, y $\vec{v}$ es perpendicular a $\vec{x}$ .

Ejercicio 2

Tercera fotografía (posición alejada del equilibrio)

Aquí la masa está desplazada hacia abajo respecto de la posición de equilibrio: el vector rojo (desplazamiento) es largo. El punto del círculo de referencia está arriba del diámetro horizontal, de modo que la proyección de la velocidad (azul) es corta: la masa casi se detiene antes de cambiar de sentido, pues $v = 0$ en los extremos.

La aceleración (negro) es máxima y apunta hacia el centro del círculo, es decir, hacia la posición de equilibrio, coherente con la ley de Hooke $F = -kx$ y con $a = -\frac{k}{m}x$ : al ser $x$ máximo, $a$ también lo es, pero de sentido opuesto.

Ejercicio 3

Relación general en el MAS

$x(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

$v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$

$a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^{2}\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}x(t)$

Con $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ . De ahí que:

$v$ adelanta a $x$ en $90^\circ$ (en el círculo, el vector velocidad es tangente y el desplazamiento, radial).
$a$ está en contra fase con $x$ ( $180^\circ$ ): siempre apunta al equilibrio.
$v$ y $a$ difieren en $90^\circ$ : la aceleración es nula cuando la velocidad es máxima.

Respuesta

En el MAS del sistema masa-resorte, el desplazamiento (rojo) se hace cero en el equilibrio mientras la velocidad (azul) alcanza su máximo y la aceleración (negro) es nula; en los extremos el desplazamiento es máximo, la velocidad es nula y la aceleración máxima, dirigida hacia el equilibrio.

Contenido de la página

Segunda fotografía

Un sistema masa-resorte vertical, con la masa en una posición cercana al equilibrio. Vector rojo: desplazamiento pequeño hacia abajo. Vector azul: velocidad larga y horizontal (tangente al círculo de referencia). Vector negro: aceleración casi nula.

Leyenda: ROJO - DESPLAZAMIENTO · AZUL - VELOCIDAD · NEGRO - ACELERACIÓN

Fuente: https://n9.cl/7251b

Tercera fotografía

El mismo sistema con la masa desplazada alejada del equilibrio. Vector rojo: desplazamiento máximo. Vector azul: velocidad corta (la masa se detiene). Vector negro: aceleración máxima apuntando hacia el centro del círculo, es decir, hacia la posición de equilibrio.

Leyenda: ROJO - DESPLAZAMIENTO · AZUL - VELOCIDAD · NEGRO - ACELERACIÓN

Fuente: https://n9.cle7xmp

Fuente base: $http://www.phy.hk/wiki/Eng/springSHM/springSHM_js.htm$

Página 94 — Texto de Física

Ejemplos resueltos

Una masa de 0,5 kg cuelga de un resorte de constante k = 200 N/m. Calcular la frecuencia angular y comparar a y v cuando x = A/2.

$\(\omega$ = $\sqrt{k/m}$ = $\sqrt{200/0,5}$ = $\sqrt{400}$ = 20\ $\text{rad/s}$ ).
Con (x = A/2): (a = $-\omega^2$ x = -400 $\cdot$ (A/2) = -200A\ $\text{m/s}$ ^2) por metro de amplitud.
(v = $\omega@@MATH_0@@\frac{\sqrt3}{2}$ A = $10\sqrt3$ A).
Como $\(a\neq$ 0), el desplazamiento aún no es cero y la velocidad no ha alcanzado su máximo.

Tabla

Condición	Desplazamiento x (rojo)	Velocidad v (azul)	Aceleración a (negro)
Posición de equilibrio	0 (mínimo)	v máx = Aω	0 (mínimo)
Extremos (x = ±A)	máximo	0	a máx = Aω², hacia el equilibrio
General	x(t) = A cos(ωt+φ)	v = -Aω sin(ωt+φ)	a = -ω²x

Diagrama

flowchart LR
  A[Masa: desplazamiento x rojo] -->|F = -kx| B[Fuerza restauradora]
  B --> C[Aceleración a = -(k/m)x, vector negro]
  C --> D[Velocidad v = ±ω√(A²−x²), vector azul]
  D -->|v máx en x = 0| A
  C -->|a máx en x = ±A| A

Fórmulas y ecuaciones

a = $-\omega^{2}x$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

v = $-\omega$ $\sqrt{A^{2}-x^{2}}$

x(t) = $A\cos(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $-A\omega\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $-A\omega^{2}\cos(\omega$ t + $\varphi)$ = $-\omega^{2}x(t)$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

F = -kx

$v_{máx}$ = $A\omega$

$a_{máx}$ = $A\omega^{2}$

Glosario (6)

Movimiento armónico simple (MAS): Movimiento periódico en el que la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto, F = -kx.
Círculo de referencia: Círculo ficticio cuyo punto proyectado sobre un diámetro reproduce el MAS; permite visualizar fase, velocidad y aceleración.
Fase: Argumento (ωt + φ) que determina la posición del oscilador dentro de su ciclo.
Amplitud: Valor máximo absoluto del desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.
Frecuencia angular: Magnitud ω = √(k/m) que relaciona el paso de tiempo con el avance de fase; se mide en rad/s.
Posición de equilibrio: Punto donde la fuerza neta sobre la masa es cero y, por tanto, la aceleración del MAS es nula.

Preguntas para practicar

¿Por qué el vector aceleración (negro) en la tercera fotografía apunta hacia el centro del círculo y no en la dirección del movimiento?

Porque en el MAS la aceleración es siempre la aceleración centrípeta del círculo de referencia, dirigida hacia la posición de equilibrio. Se deduce de F = -kx, que implica a = -(k/m)x: el signo negativo indica que la aceleración se opone al desplazamiento, es decir, apunta al centro del círculo.

¿Qué significa que en la segunda fotografía la aceleración sea casi nula aunque la masa se esté moviendo rápidamente?

Que la masa pasa por (o cerca de) la posición de equilibrio, donde la fuerza neta es cero. La velocidad es máxima en ese punto porque la fuerza dejó de acelerarla; la aceleración es mínima justamente porque el desplazamiento es mínimo, ya que a = -ω²x.

¿Se puede determinar, solo con la segunda fotografía, en qué dirección se mueve la masa?

Sí: la velocidad (azul) apunta hacia la izquierda en el círculo de referencia, lo que indica que la masa va ascendiendo hacia la posición de equilibrio; además, como v es horizontal y larga, la masa se encuentra cerca del centro del recorrido.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple de un sistema masa-resorteVectores de desplazamiento, velocidad y aceleraciónCírculo de referencia y proyecciónRelación a = -ω²xDesplazamientoVelocidad instantáneaAceleraciónFaseAmplitudFrecuencia angular