Análisis de gráficas de posición y velocidad en un movimiento armónico simple

1. La curva roja describe un movimiento armónico simple (MAS), cuya ecuación general es

x(t) = A\,\cos(\omega t + \varphi)

donde A es la amplitud (máximo desplazamiento respecto de la posición de equilibrio) y \omega es la frecuencia angular.

2. Punto A1: el muelle está en su desplazamiento máximo positivo (extremo superior de la oscilación). En un extremo la tangente de la curva es horizontal, es decir, la pendiente es cero:

v(A1) = \frac{dx}{dt}\Big|_{A1} = 0

Por lo tanto, en A1 el objeto está en reposo instantáneo; ahí el muelle está más estirado (o comprimido) y la fuerza elástica es máxima.

3. Punto A2: la curva cruza el eje de tiempos, de modo que el desplazamiento es cero: x(A2) = 0. El objeto está en la posición de equilibrio. Allí la pendiente de la curva es máxima en valor absoluto, es decir, la velocidad alcanza su valor máximo:

|v(A2)| = v_{\max} = A\,\omega

4. Punto A3: la curva alcanza su desplazamiento máximo negativo (valle), con x(A3) = -A. Nuevamente la pendiente es nula:

v(A3) = 0

5. En A1 y A3 la aceleración es máxima en valor absoluto, porque en el MAS se cumple

a(t) = -\omega^{2}\,x(t)

y por lo tanto a(A1) = -\omega^{2}A, a(A3) = +\omega^{2}A; en A2 la aceleración es nula, a(A2) = 0.

1. La velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo, v = dx/dt; por eso la curva azul también es armónica:

v(t) = -A\,\omega\,\sin(\omega t + \varphi)

2. Puntos B1 y B3: la curva azul cruza el eje horizontal, es decir, v = 0. Estos instantes corresponden a los extremos del desplazamiento, es decir, a los puntos A1 y A3 de la gráfica de posición.

3. Punto B2: es el mínimo de la curva, v = -v_{\max} = -A\,\omega. La velocidad es máxima en valor absoluto, pero con signo negativo: el muelle atraviesa la posición de equilibrio en sentido descendente (o de compresión, según la referencia elegida). Corresponde al punto A2 cuando el objeto cruza el equilibrio hacia abajo.

4. Punto B4: es el máximo de la curva, v = +v_{\max} = +A\,\omega. El muelle cruza la posición de equilibrio con la mayor velocidad y en sentido opuesto al del punto B2; corresponde al segundo cruce de la curva de posición por el eje (nuevo punto tipo A2).

1. Pendiente de la gráfica x–t = valor de la gráfica v–t: donde la posición tiene pendiente máxima (A2), la velocidad presenta su extremo (B2 o B4); donde la posición es extremo (A1, A3), la velocidad se anula (B1, B3).

2. Área bajo la curva v–t: representa el desplazamiento, ya que

\Delta x = \int_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt

Un área positiva indica desplazamiento en el sentido positivo; una área negativa, en el sentido negativo.

3. Fase: la curva de velocidad está desfasada respecto de la de posición en \pi/2 radianes (un cuarto de ciclo). Si x se comporta como un coseno, v se comporta como un seno negativo.

4. Aceleración: sería la pendiente de la gráfica v–t; en los extremos de velocidad (B2, B4) la pendiente es nula, es decir, a = 0, lo que coincide con la posición de equilibrio (punto A2).

1. El MAS puede interpretarse como la proyección del movimiento circular uniforme sobre un diámetro. Si un punto gira con rapidez constante v_c en un círculo de radio A, su proyección describe x(t) = A\cos(\omega t + \varphi).

2. La rapidez angular del círculo se relaciona con el periodo del muelle mediante

\omega = \frac{2\pi}{T}

y la velocidad máxima de la proyección es v_{\max} = A\,\omega, exactamente el valor de los puntos B2 y B4.

3. En los extremos de la oscilación (A1 y A3) el punto gira en un instante en que su velocidad tangencial es perpendicular al eje de proyección; por eso su proyección se detiene: v = 0 (puntos B1 y B3).

4. La aceleración del MAS, a = -\omega^{2}x, es la proyección de la aceleración centrípeta del círculo, cuya magnitud constante es a_c = A\,\omega^{2} y que siempre apunta hacia el centro (equilibrio), lo que explica que el movimiento sea armónico.