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Aceleración versus tiempo y resumen de las curvas cinemáticas del oscilador

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Respuesta rápida

C1 y C3 son extremos de a; C2 y C4 son cruces con a = 0 (velocidad máxima). a = -ω²x, período T = 2π√(m/k), amplitudes A, ωA y ω²A.

📚 theory fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 98

Fisica 3° · 2024

Contenido de la página

La página 97 del Texto de Física presenta dos figuras con un mismo sistema: una caja (masa) suspendida de un resorte, bajo observación con cronómetro.

Primera figura: aceleración versus tiempo

El eje horizontal representa el tiempo $t$ y el vertical la aceleración $a$ . La curva negra es una sinusoida que se desplaza alrededor del eje de tiempos. Los puntos marcados son:

C1: valor mínimo de $a$ (máxima aceleración negativa). Ocurre cuando el desplazamiento es máximo en el sentido positivo.
C2: la curva cruza el eje de tiempos, es decir $a = 0$ . Coincide con el paso por la posición de equilibrio, donde la velocidad es máxima.
C3: valor máximo de $a$ (máxima aceleración positiva). Corresponde al desplazamiento máximo en el sentido negativo.
C4: nuevo cruce con el eje, $a = 0$ de nuevo, con la velocidad máxima en sentido contrario.

El signo negativo de la aceleración se interpreta como $a = -ω^{2}x$ : la aceleración siempre apunta hacia la posición de equilibrio (fuerza restauradora).

Segunda figura: resumen de las tres curvas

Se superponen las tres magnitudes cinemáticas del oscilador armónico:

Rojo — Desplazamiento $x(t) = A·\sin(\omega t + \varphi)$
Azul — Velocidad $v(t) = \frac{dx}{dt} = A·\omega·\cos(\omega t + \varphi)$
Negro — Aceleración $a(t) = \frac{dv}{dt} = -A·\omega^{2}·\sin(\omega t + \varphi) = -\omega^{2}x$

Relación entre las curvas (paso a paso)

La aceleración es la derivada de la velocidad: los máximos de $v$ (azul) coinciden con los ceros de $a$ (negro), puntos C2 y C4.
La velocidad es la derivada del desplazamiento: los ceros de $x$ (rojo) coinciden con los extremos de $v$ .
Como $a = -\omega^{2}x$ , la curva negra es una copia invertida y amplificada de la roja: los máximos de $x$ son mínimos de $a$ .
Amplitudes relacionadas: $A_x = A$ , $A_v = \omega A$ , $A_a = \omega^{2}A$ .
Toda magnitud se repite con el mismo período $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ .
Cualquier desfase entre las curvas es de $¼$ de período entre magnitudes consecutivas.

Respuesta orientativa: la página ilustra que, en un oscilador armónico, desplazamiento, velocidad y aceleración son sinusoidas de igual período, desfasadas entre sí, con la aceleración proporcional y de signo opuesto al desplazamiento.

Contenido de la página

ACELERACIÓN VERSUS TIEMPO

Figura 1: caja (masa) suspendida de un resorte desde un soporte fijo. Un estudiante observa el movimiento con un cronómetro. La gráfica correspondiente traza la aceleración (curva negra) en función del tiempo, marcando cuatro puntos: C1 (mínimo), C2 (cruce con el eje), C3 (máximo) y C4 (nuevo cruce con el eje). El signo negativo indica que la aceleración apunta hacia arriba, hacia la posición de equilibrio del resorte.

Fuente: https://n9.cl/3ik2zy

RESUMEN

Figura 2: el mismo sistema masa-resorte observado con cronómetro, acompañado de tres curvas superpuestas:

ROJO – DESPLAZAMIENTO
AZUL – VELOCIDAD
NEGRO – ACELERACIÓN

Las tres curvas son sinusoidales, tienen el mismo período y están desfasadas entre sí; la aceleración es proporcional al desplazamiento con constante $-\omega^{2}$ .

Fuente: https://n9.cl/0i4et

Ejemplos resueltos

Una masa de $m = 0{,}5\,\text{kg}$ cuelga de un resorte con $k = 200\,\text{N/m}$ . Calcular $\omega$ , $T$ y la amplitud de la aceleración si la amplitud del desplazamiento es $A = 0{,}04\,\text{m}$ .

$\omega = \sqrt{k/m} = \sqrt{200/0{,}5} = \sqrt{400} = 20\,\text{rad/s}$ .
$T = 2\pi/\omega = 2\pi/20 \approx 0{,}314\,\text{s}$ .
$A_a = \omega^{2}A = 400 \times 0{,}04 = 16\,\text{m/s}^{2}$ . Respuesta: $\omega = 20\,\text{rad/s}$ , $T \approx 0{,}31\,\text{s}$ , $A_a = 16\,\text{m/s}^{2}$ .

Tabla

Magnitud	Color	Función	Amplitud	Desfase respecto a x
Desplazamiento	Rojo	$x(t)=A\sin(\omega t+\varphi)$	$A$	$0$
Velocidad	Azul	$v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)$	$\omega A$	$+\pi/2$
Aceleración	Negro	$a(t)=-A\omega^{2}\sin(\omega t+\varphi)$	$\omega^{2}A$	$\pi$

Diagrama

graph TD
  A[Masa m] -->|F = -k x| B[Posición de equilibrio]
  C[x(t) = A sen(ωt + φ)] -->|derivada| D[v(t) = Aω cos(ωt + φ)]
  D -->|derivada| E[a(t) = -Aω² sen(ωt + φ)]
  E -->|relación| C
  style A fill:#e1f5e1,stroke:#2e7d32
  style D fill:#e3f2fd,stroke:#1565c0
  style E fill:#eeeeee,stroke:#212121

Fórmulas y ecuaciones

a = -ω²x (aceleración proporcional y de signo opuesto al desplazamiento)

T = 2π√(m/k) (periodo del oscilador masa-resorte)

x(t) = $A\sin(\omega$ t + $\varphi)$

v(t) = $\frac{dx}{dt}$ = $A\omega\cos(\omega$ t + $\varphi)$

a(t) = $\frac{dv}{dt}$ = $-A\omega^{2}\sin(\omega$ t + $\varphi)$

a = $-\omega^{2}$ x

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}@@MATH_0@@\sqrt{\frac{m}{k}}$

$A_v$ = $\omega$ $A,\qquad$ $A_a$ = $\omega^{2}$ A

Glosario (5)

Movimiento armónico simple (MAS): Movimiento periódico en el que la fuerza neta es proporcional al desplazamiento y de signo opuesto (ley de Hooke).
Constante angular (ω): Magnitud que relaciona la frecuencia con el período: ω = 2π/T = 2πf.
Amplitud (A): Valor máximo que alcanza el desplazamiento respecto de la posición de equilibrio.
Fuerza restauradora: Fuerza dirigida siempre hacia la posición de equilibrio, F = -kx.
Desfase: Diferencia de fase entre dos sinusoidas; entre x, v y a equivale a un cuarto de período.

Preguntas para practicar

¿Qué se puede deducir de los puntos C1, C2, C3 y C4 de la gráfica de aceleración versus tiempo?

En C1 y C3 la aceleración alcanza sus extremos (máximo valor negativo y positivo), lo que ocurre en los puntos de máxima elongación, donde el desplazamiento es máximo y el resorte está más deformado. En C2 y C4 la aceleración es nula porque la masa pasa por la posición de equilibrio, donde el resorte no ejerce fuerza restauradora y la velocidad es máxima.

¿Por qué las curvas de desplazamiento, velocidad y aceleración tienen el mismo período?

Porque la velocidad es la derivada del desplazamiento y la aceleración es la derivada de la velocidad; derivar una sinusoida solo cambia su amplitud y su fase, pero no la frecuencia. Por lo tanto todas las magnitudes se repiten en el mismo tiempo T.

¿Qué significa el signo negativo en la fórmula a = −ω²x?

Significa que la aceleración siempre apunta en la dirección opuesta al desplazamiento: si la masa se aleja de la posición de equilibrio, la fuerza restauradora la acelera hacia ella. Es la condición de oscilación armónica y garantiza que el movimiento sea periódico.

Temas y conceptos clave

Aceleración versus tiempoMovimiento armónico simpleRelación entre desplazamiento, velocidad y aceleraciónPeriodo de un oscilador masa-resorteOscilación armónicaAmplitudConstante angularDesfaseFuerza restauradoraEquivalencia a = -ω²x