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Selección de respuestas correctas en el movimiento armónico de un muelle

📄 ejercicios fisica 🎓 bachillerato · 3° BGU Ecuador 🇪🇨 EC 🗣 Español

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Respuesta rápida

1.a) Equilibrio, velocidad máxima, aceleración mínima y muelle en reposo. 1.b) Compresión máxima y energía potencial máxima. 1.c) Energía cinética mínima, energía mecánica constante, velocidad nula y elongación máxima.

📚 exercise fisica ⭐⭐ Dificultad 2/5 ⏱ 3 min lectura

Solución — Página 99

Fisica 3° · 2024

Ejercicio 1

a) Seleccione la o las respuestas correctas de acuerdo a los puntos A1, B1, C1, A2, B2, C2 y A3, B3, C3 de un oscilador armónico (masa unida a un muelle).

Razonamiento general del muelle vertical u horizontal en oscilación armónica:

La fuerza elástica es $F = -kx$ , con $x$ la deformación respecto de la posición de equilibrio.
Por la segunda ley de Newton, $F = ma$ , de donde la aceleración es $a = -\frac{k}{m}x = -\omega^{2}x$ , con $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ .
La velocidad en función de la posición es $v = \pm\omega\sqrt{A^{2} - x^{2}}$ , donde $A$ es la amplitud.
La energía mecánica total se conserva: $E = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}kA^{2} = \text{constante}$ .

Parte 1.a

Puntos A1, B1, C1 (posición de equilibrio, $x = 0$)

Si el sistema está en la posición de equilibrio, entonces $x = 0$ .
La fuerza elástica es $F = -k(0) = 0$ .
La aceleración es $a = -\omega^{2}(0) = 0$ , es decir, es mínima (nula).
Como $v = \pm\omega\sqrt{A^{2} - 0^{2}} = \omega A$ , la velocidad es máxima en valor absoluto.
El muelle está sin deformación, por lo que permanece "en reposo" (en su longitud natural).

Respuestas correctas: "La posición es de equilibrio", "La velocidad es máxima", "La aceleración es mínima" y "El muelle está en reposo". Son falsas: "La fuerza elástica es máxima" (es nula) y "La aceleración es máxima" (es nula).

Parte 1.b

Puntos A2, B2, C2 (compresión máxima, $x = -A$)

En la compresión máxima el muelle está deformado al máximo: $|x| = A$ .
La velocidad es $v = \pm\omega\sqrt{A^{2} - A^{2}} = 0$ , por lo que NO es máxima: es nula.
La aceleración es $a = -\omega^{2}(-A) = \omega^{2}A$ , de magnitud máxima, por lo que "la aceleración es mínima" es falsa.
La energía cinética es $E_{c} = \frac{1}{2}mv^{2} = 0$ , mínima, no máxima.
La energía potencial elástica es $E_{p} = \frac{1}{2}kx^{2} = \frac{1}{2}kA^{2}$ , máxima.
La energía mecánica $E = \frac{1}{2}kA^{2}$ se mantiene constante en todo el movimiento, por lo que no tiene sentido decir que "es máxima": es siempre la misma.

Respuestas correctas: "El muelle se encuentra en su compresión máxima" y "La energía potencial es máxima". (Se corrige la errata del libro: "comprensión" por "compresión".)

Parte 1.c

Puntos A3, B3, C3 (elongación máxima, $x = +A$)

En la elongación máxima el muelle está estirado al máximo: $x = A$ .
La velocidad es $v = \pm\omega\sqrt{A^{2} - A^{2}} = 0$ : es nula.
La energía cinética es $E_{c} = 0$ , mínima.
La energía potencial es $E_{p} = \frac{1}{2}kA^{2}$ , máxima, por lo que "la energía potencial es mínima" es falsa.
Por conservación de la energía, $E = E_{c} + E_{p} = \frac{1}{2}kA^{2}$ se mantiene constante en todo el recorrido.

Respuestas correctas: "La energía cinética es mínima", "La energía mecánica se mantiene", "La velocidad es nula" y "El muelle se encuentra en la elongación máxima". Es falsa: "La energía potencial es mínima".

Respuesta

a) $x=0$ : equilibrio, $v$ máx., $a$ mín., muelle en reposo. b) $x=-A$ : compresión máx. y $E_{p}$ máx. c) $x=+A$ : $v=0$ , $E_{c}$ mín., $E$ constante, elongación máx.

Contenido de la página

a) Seleccione la o las respuestas correctas

De acuerdo a los puntos A1, B1, C1 (posición de equilibrio)

La posición es de equilibrio.
La velocidad es máxima.
La aceleración es mínima.
El muelle está en reposo.
La fuerza elástica es máxima.
La aceleración es máxima.

De acuerdo a los puntos A2, B2, C2 (compresión máxima)

El muelle se encuentra en su compresión máxima.
La velocidad es máxima.
La aceleración es mínima.
La energía cinética es máxima.
La energía potencial es máxima.
La energía mecánica es máxima.

De acuerdo a los puntos A3, B3, C3 (elongación máxima)

La energía cinética es mínima.
La energía potencial es mínima.
La energía mecánica se mantiene.
La velocidad es nula.
El muelle se encuentra en la elongación máxima.

Nota de transcripción: el libro escribe "comprensión" en lugar de "compresión"; se transcribe corregido el sentido físico.

Ejemplos resueltos

Un muelle de constante $k=200\,\text{N/m}$ sostiene una masa de $0{,}5\,\text{kg}$ que oscila con amplitud $A=0{,}10\,\text{m}$ . Calcule la aceleración y la energía en la posición de equilibrio y en la elongación máxima.

Frecuencia angular: $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{200}{0{,}5}}=\sqrt{400}=20\,\text{rad/s}$ .
En equilibrio ( $x=0$ ): $a=-\omega^{2}(0)=0$ y $v=\omega A=20(0{,}10)=2\,\text{m/s}$ (velocidad máxima).
Energía total: $E=\frac{1}{2}kA^{2}=\frac{1}{2}(200)(0{,}10)^{2}=1{,}0\,\text{J}$ .
En la elongación máxima ( $x=A=0{,}10\,\text{m}$ ): $a=-\omega^{2}A=-(20)^{2}(0{,}10)=-40\,\text{m/s}^{2}$ (magnitud máxima), $v=0$ y $E_{p}=\frac{1}{2}kA^{2}=1{,}0\,\text{J}$ .

Tabla

Punto	Posición	Velocidad	Aceleración	$E_{c}$	$E_{p}$	$E_{mec}$
A1, B1, C1	Equilibrio, $x=0$	Máxima, $v=\pm\omega A$	Nula (mínima), $a=0$	Máxima	Nula (mínima)	Constante, $\frac{1}{2}kA^{2}$
A2, B2, C2	Compresión máxima, $x=-A$	Nula, $v=0$	Máxima, $a=\omega^{2}A$	Nula (mínima)	Máxima, $\frac{1}{2}kA^{2}$	Constante, $\frac{1}{2}kA^{2}$
A3, B3, C3	Elongación máxima, $x=+A$	Nula, $v=0$	Máxima, $a=-\omega^{2}A$	Nula (mínima)	Máxima, $\frac{1}{2}kA^{2}$	Constante, $\frac{1}{2}kA^{2}$

Fórmulas y ecuaciones

a = $-\omega^{2}x$

v = $\pm\omega$ $\sqrt{A^{2}-x^{2}}$

E = $\frac{1}{2}$ $kA^{2}$

F = -kx

a = - $\frac{k}{m}$ x = $-\omega^{2}x$

$\omega$ = $\sqrt{\frac{k}{m}}$

v = $\pm\omega$ $\sqrt{A^{2}-x^{2}}$

$E_{c}$ = $\frac{1}{2}$ $mv^{2}$

$E_{p}$ = $\frac{1}{2}$ $kx^{2}$

E = $E_{c}+E_{p}$ = $\frac{1}{2}$ $kA^{2}$ = $\text{constante}$

Glosario (6)

Movimiento armónico simple: Movimiento oscilatorio en el que la fuerza restauradora es proporcional y opuesta al desplazamiento ($F=-kx$), produciendo una trayectoria sinusoidal.
Posición de equilibrio: Posición donde el muelle no está deformado ($x=0$), la fuerza elástica es nula y la aceleración es cero.
Amplitud: Valor máximo de la deformación del muelle respecto de la posición de equilibrio ($A$), donde la velocidad se anula.
Fuerza elástica: Fuerza restauradora $F=-kx$ ejercida por el muelle, proporcional a la deformación y dirigida hacia la posición de equilibrio.
Energía potencial elástica: Energía almacenada en el muelle deformado, $E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}$, máxima en los extremos del movimiento.
Energía mecánica: Suma de energía cinética y potencial elástica del sistema; se conserva ($E=\frac{1}{2}kA^{2}$) cuando no hay fricción.

Preguntas para practicar

¿Por qué la energía mecánica es constante en el movimiento de un muelle sin rozamiento?

Porque la única fuerza que actúa (la elástica) es una fuerza conservativa, cuyo trabajo depende solo de los puntos inicial y final y no del recorrido. Además, en ausencia de fuerzas no conservativas como la fricción, el trabajo total sobre el sistema es cero, de modo que la suma de energía cinética y potencial elástica permanece igual: $E=\frac{1}{2}mv^{2}+\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}$ en cualquier instante.

¿Qué le ocurre a la energía cinética y a la potencial cuando el muelle pasa por la posición de equilibrio?

Al pasar por la posición de equilibrio ($x=0$) la energía potencial elástica se anula, $E_{p}=\frac{1}{2}k(0)^{2}=0$, y toda la energía del sistema se transforma en energía cinética: $E_{c}=\frac{1}{2}kA^{2}$, su valor máximo. Esto coincide con que la velocidad alcance su valor máximo $v=\pm\omega A$ y la aceleración sea nula, porque la fuerza restauradora desaparece en ese instante.

Explique por qué en los extremos de la oscilación el muelle 'se detiene' aunque actúa sobre él una fuerza elástica máxima.

En los extremos ($x=\pm A$) la fuerza elástica es máxima ($F=\pm kA$), pero esta fuerza está dirigida hacia la posición de equilibrio, es decir, opuesta al movimiento del cuerpo. La aceleración instantánea máxima contraria a la velocidad hace que esta disminuya hasta anularse en ese instante. Es el instante en que la velocidad es cero, la energía cinética es nula y toda la energía mecánica está almacenada como energía potencial elástica.

Temas y conceptos clave

Movimiento armónico simple de un muellePosición de equilibrio, compresión máxima y elongación máximaRelación entre posición, velocidad y aceleraciónConservación de la energía mecánicaPosición de equilibrioAmplitudFuerza elásticaAceleración armónica $a=-\omega^2 x$Velocidad máximaEnergía potencial elásticaEnergía mecánica constante